Geodesic
Fixed points for bounded orbits in Hilbert spaces
[Points fixes en présence d'orbites bornées dans les espaces hilbertiens]
Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, Série 4, Tome 50 (2017) no. 1, pp. 131-156

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Consider the following property of a topological group G: every continuous affine G-action on a Hilbert space with a bounded orbit has a fixed point. We prove that this property characterizes amenability for locally compact σ-compact groups (e.g., countable groups).

Along the way, we introduce a “moderate” variant of the classical induction of representations and we generalize the Gaboriau-Lyons theorem to prove that any non-amenable locally compact group admits a probabilistic variant of discrete free subgroups. This leads to the “measure-theoretic solution” to the von Neumann problem for locally compact groups.

We illustrate the latter result by giving a partial answer to the Dixmier problem for locally compact groups.

Nous considérons la propriété suivante pour un groupe topologique G : toute action affine continue de G sur un espace hilbertien ayant une orbite bornée a un point fixe. Nous montrons qu'elle caractérise la moyennabilité des groupes localement compacts dénombrables à l'infini (en particulier des groupes discrets dénombrables).

Pour ce faire, nous introduisons une variante « modérée » de l'induction des représentations et nous généralisons le théorème de Gaboriau-Lyons pour montrer que tout groupe localement compact non moyennable admet, dans un sens probabiliste, des sous-groupes libres discrets. Ceci fournit une « solution au sens de la mesure » au problème de von Neumann pour les groupes localement compacts.

Nous illustrons ce dernier résultat en fournissant une réponse partielle au problème de Dixmier pour les groupes localement compacts.

Publié le :
DOI : 10.24033/asens.2317
Classification : 47H10, 22D12, 22A05, 43A07, 20E05, 37A20
Keywords: Amenable group, fixed point theorem, von Neumann problem, Dixmier problem
Mots-clés : Groupe moyennable, théorème du point fixe, problème de von Neumann, problème de Dixmier 
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TY  - JOUR
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