Block decomposition of the category of ℓ-modular smooth representations of GL n(F) and its inner forms

[Décomposition en blocs de la catégorie des représentations lisses ℓ-modulaires de GL(N,F) et de ses formes intérieures]

Sécherre, Vincent ; Stevens, Shaun

Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, Série 4, Tome 49 (2016) no. 3, pp. 669-709

Abstract (VO)

Let F be a nonarchimedean locally compact field of residue characteristic p, let D be a finite dimensional central division F-algebra and let R be an algebraically closed field of characteristic different from p. To any irreducible smooth representation of G= GL m(D), m1 with coefficients in R, we can attach a uniquely determined inertial class of supercuspidal pairs of G. This provides us with a partition of the set of all isomorphism classes of irreducible representations of G. We write ℛ(G) for the category of all smooth representations of G with coefficients in R. To any inertial class Ω of supercuspidal pairs of G, we can attach the subcategory ℛ(Ω) made of smooth representations all of whose irreducible subquotients are in the subset determined by this inertial class. We prove that the category ℛ(G) decomposes into the product of the ℛ(Ω)'s, where Ω ranges over all possible inertial class of supercuspidal pairs of G, and that each summand ℛ(Ω) is indecomposable.

Résumé

Soit F un corps commutatif localement compact non archimédien de caractéristique résiduelle p, soit D une F-algèbre à division centrale de dimension finie et soit R un corps algébriquement clos de caractéristique différente de p. A toute représentation lisse irréductible du groupe G= GL m(D), m1 à coefficients dans R correspond une classe d'inertie de paires supercuspidales de G. Ceci définit une partition de l'ensemble des classes d'isomorphisme de représentations irréductibles de G. Notons ℛ(G) la catégorie des représentations lisses de G à coefficients dans R et, pour toute classe d'inertie Ω de paires supercuspidales de G, notons ℛ(Ω) la sous-catégorie formée des représentations lisses dont tous les sous-quotients irréductibles appartiennent au sous-ensemble déterminé par cette classe d'inertie. Nous prouvons que ℛ(G) est le produit des ℛ(Ω), où Ω décrit les classes d'inertie de paires supercuspidales de G, et que chaque facteur ℛ(Ω) est indécomposable.

Détail

Publié le : 2016-09-05
DOI : 10.24033/asens.2293

Classification : 22E50.
Keywords: Modular representations of $p$-adic reductive groups, semisimple types, Inertial classes, supercuspidal support, blocks.
Mots-clés : Représentations modulaires des groupes réductifs $p$-adiques, types semi-simples, classes inertielles, support supercuspidal, blocs.