Varieties of minimal rational tangents of codimension 1

[Variétés des courbes rationnelles minimales de codimension $1$]

Hwang, Jun-Muk

Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, Série 4, Tome 46 (2013) no. 4, pp. 629-649

Abstract (VO)

Let $X$ be a uniruled projective manifold and let $x$ be a general point. The main result of [2] says that if the $(-K_X)$-degrees (i.e., the degrees with respect to the anti-canonical bundle of $X$) of all rational curves through $x$ are at least $dimX+1$, then $X$ is a projective space. In this paper, we study the structure of $X$ when the $(-K_X)$-degrees of all rational curves through $x$ are at least $dimX$. Our study uses the projective variety ${𝒞}_x\subset \mathbb{P}{T}_x\left(X\right)$, called the VMRT at $x$, defined as the union of tangent directions to the rational curves through $x$ with minimal $(-K_X)$-degree. When the minimal $(-K_X)$-degree of rational curves through $x$ is equal to $dimX$, the VMRT ${𝒞}_x$ is a hypersurface in $\mathbb{P}{T}_x\left(X\right)$. Our main result says that if the VMRT at a general point of a uniruled projective manifold $X$ of dimension $\ge 4$ is a smooth hypersurface, then $X$ is birational to the quotient of an explicit rational variety by a finite group action. As an application, we show that, if furthermore $X$ has Picard number 1, then $X$ is biregular to a hyperquadric.

Résumé

Soit $X$ une variété projective uniréglée et soit $x$ un point général. D’après le résultat principal de [2], si le degré par rapport à $-K_X$ de toute courbe rationnelle passant par $x$ est au moins égal à $dim\left(X\right)+1$, alors $X$ est un espace projectif. Dans cet article, nous étudions la structure de $X$ sous l’hypothèse que le degré par rapport à $-K_X$ de toute courbe rationnelle passant par $x$ est au moins égal à $dim\left(X\right)$. Notre étude repose sur la variété projective ${𝒞}_x\subset \mathbb{P}{T}_x\left(X\right)$ que nous appelons la VMRT (variété des tangentes des courbes rationnelles minimales) en $x$ et qui est définie comme la réunion de toutes les directions tangentes aux courbes rationnelles passant par $x$ dont le degré par rapport à $-K_X$ est minimal. Lorsque ce degré est égal à $dim\left(X\right)$, la VMRT ${𝒞}_x$ est une hypersurface de $\mathbb{P}{T}_x\left(X\right)$. Notre résultat principal affirme que si la VMRT en un point général d’une variété projective uniréglée $X$ de dimension $\ge 4$ est une hypersurface, alors $X$ est birationnelle au quotient d’une variété rationnelle explicite par l’action d’un groupe fini. Si, de plus, le rang du groupe de Picard de $X$ est égal à $1$, nous en déduisons que $X$ est une hypersurface quadrique d’un espace projectif.

Détail

DOI : 10.24033/asens.2197

Classification : 14J40, 53B99
Keywords: varieties of minimal rational tangents, minimal rational curves
Mots-clés : variété des tangentes rationnelles minimales, courbes rationnelles minimales