[À l’ombre de l’HR : Vecteurs cycliques de l’espace de Hardy du multidisque hilbertien]
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Completeness of a dilation system on the standard Lebesgue space is considered for 2-periodic functions . We show that the problem is equivalent to an open question on cyclic vectors of the Hardy space on the Hilbert multidisc . Several simple sufficient conditions are exhibited, which include however practically all previously known results (Wintner; Kozlov; Neuwirth, Ginsberg, and Newman; Hedenmalm, Lindquist, and Seip). For instance, each of the following conditions implies cyclicity of a function : 1) , ; 2) , ; 3) and on . The Riemann Hypothesis on zeros of the Euler -function is known to be equivalent to a completeness of a similar but non-periodic dilation system (due to Nyman).
Il s’agit du problème de la complétude d’un système de dilatations dans l’espace de Lebesgue où est une fonction impaire 2-périodique. Sans utiliser les séries de Dirichlet, on montre que le problème est équivalent à une question ouverte sur les vecteurs cycliques dans l’espace de Hardy du multidisque de Hilbert. Quelques conditions suffisantes de cyclicité sont établies, ce qui néanmoins inclut pratiquement tous les résultats précédents du sujet (ceux de Wintner ; Kozlov ; Neuwirth, Ginsberg, and Newman ; Hedenmalm, Lindquist, and Seip). Par exemple, chacune des conditions suivantes entraîne la cyclicité d’une fonction dans : 1) , ; 2) , ; 3) et sur . L’Hypothèse de Riemann sur les zéros de la fonction d’Euler est équivalente à un problème semblable de la complétude des dilatations (B.Nyman).
Keywords: dilation semigroup, Hilbert’s multidisc, cyclic vector, outer function, completeness problem, Riemann hypothesis
Mots-clés : semigroupe de dilatation, multidisque d’Hilbert, vecteurs cycliques, fonctions extérieure, problème de complétude, l’hypothèse de Riemann
Nikolski, Nikolai 1
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Nikolski, Nikolai. In a shadow of the RH: Cyclic vectors of Hardy spaces on the Hilbert multidisc. Annales de l'Institut Fourier, Tome 62 (2012) no. 5, pp. 1601-1626. doi: 10.5802/aif.2731
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