Embedding theorems for Müntz spaces

[Théorèmes de plongement dans les espaces de Müntz]

Chalendar, Isabelle¹  ; Fricain, Emmanuel¹  ; Timotin, Dan² 

¹ Université de Lyon 1 INSA de Lyon, École Centrale de Lyon CNRS, UMR5208, Institut Camille Jordan 43 bld. du 11 novembre 1918 69622 Villeurbanne Cedex (France)
² Institute of Mathematics of the Romanian Academy PO Box 1-764 Bucharest 014700 (Romania)

Annales de l'Institut Fourier, Tome 61 (2011) no. 6, pp. 2291-2311

Abstract (VO)

We discuss boundedness and compactness properties of the embedding $M_{\Lambda }^1\subset L^1\left(\mu \right)$, where $M_{\Lambda }^1$ is the closed linear span of the monomials $x^{{\lambda }_n}$ in $L^1\left([0,1]\right)$ and $\mu$ is a finite positive Borel measure on the interval $[0,1]$. In particular, we introduce a class of “sublinear” measures and provide a rather complete solution of the embedding problem for the class of quasilacunary sequences $\Lambda$. Finally, we show how one can recapture some of Al Alam’s results on boundedness and the essential norm of weighted composition operators from $M_{\Lambda }^1$ to $L^1\left([0,1]\right)$.

Résumé

Nous étudions la continuité et la compacité du plongement $M_{\Lambda }^1\subset L^1\left(\mu \right)$, où $M_{\Lambda }^1$ est l’enveloppe linéaire fermée des monômes $x^{{\lambda }_n}$ dans $L^1\left([0,1]\right)$ et où $\mu$ est une mesure borélienne positive et finie sur $[0,1]$. En particulier, nous introduisons une classe de mesures “sous-linéaires” et nous donnons une solution complète au problème de plongement pour une classe de suites quasilacunaires $\Lambda$. Finalement nous montrons comment retrouver des résultats de Al Alam concernant la continuité et la norme essentielle des opérateurs de composition à poids de $M_{\Lambda }^1$ dans $L^1\left([0,1]\right)$.

Détail

DOI : 10.5802/aif.2674

Classification : 46E15, 47A30, 47B33
Keywords: Müntz space, embedding measure, weighted composition operator, compact operator, essential norm
Mots-clés : espace de Müntz, mesure de plongement, opérateur de composition à poids, opérateur compact, norme essentielle