Decomposition of reductive regular Prehomogeneous Vector Spaces

Rubenthaler, Hubert

doi:10.5802/aif.2670

Decomposition of reductive regular Prehomogeneous Vector Spaces
[Décomposition des espaces préhomogènes réductifs réguliers]

Rubenthaler, Hubert ¹

¹ Université de Strasbourg et CNRS Institut de Recherche Mathématique Avancée 7 rue René Descartes 67084 Strasbourg Cedex (France)

Annales de l'Institut Fourier, Tome 61 (2011) no. 5, pp. 2183-2218

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Abstract (VO)
Résumé

Let $(G, V)$ be a regular prehomogeneous vector space (abbreviated to $P V$ ), where $G$ is a reductive algebraic group over $ℂ$ . If $V = \oplus_{i = 1}^{n} V_{i}$ is a decomposition of $V$ into irreducible representations, then, in general, the PV’s $(G, V_{i})$ are no longer regular. In this paper we introduce the notion of quasi-irreducible $P V$ (abbreviated to $Q$ -irreducible), and show first that for completely $Q$ -reducible $P V$ ’s, the $Q$ -isotypic components are intrinsically defined, as in ordinary representation theory. We also show that, in an appropriate sense, any regular PV is a direct sum of $Q$ -irreducible $P V$ ’s. Finally we classify the $Q$ -irreducible PV’s of parabolic type.

Soit $(G, V)$ un espace préhomogène (en abrégé $P V$ ) régulier, où $G$ est un groupe algébrique réductif, défini sur $ℂ$ . Si $V = \oplus_{i = 1}^{n} V_{i}$ est une décomposition de $V$ en représentations irréductibles, alors, en général, les espaces préhomogènes $(G, V_{i})$ ne sont pas réguliers. Dans cet article nous introduisons la notion de $P V$ quasi-irréductible (en abrégé $Q$ -irréducible), et nous montrons d’abord que pour les $P V$ complètement $Q$ -réductibles, les composantes $Q$ -isotypiques sont définies de manière intrinsèque, comme en théorie ordinaire des représentations. Nous montrons également que, dans un sens approprié, tout $P V$ régulier est une somme directe de $P V$ quasi-irréductibles. Finalement nous classifions les $P V$ de type parabolique qui sont $Q$ -irréductibles.

MR Zbl

DOI : 10.5802/aif.2670

Classification : 11S90, 20G05, 17B20
Keywords: reductive groups, prehomogeneous vector spaces, relative invariants, prehomogeneous vector spaces of parabolic type
Mots-clés : Groupes réductifs, espaces préhomogènes, invariants relatifs, espaces préhomogènes de type parabolique

Affiliations des auteurs :

Rubenthaler, Hubert ¹

¹ Université de Strasbourg et CNRS Institut de Recherche Mathématique Avancée 7 rue René Descartes 67084 Strasbourg Cedex (France)

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Rubenthaler, Hubert. Decomposition of reductive regular Prehomogeneous Vector Spaces. Annales de l'Institut Fourier, Tome 61 (2011) no. 5, pp. 2183-2218. doi: 10.5802/aif.2670

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