Infinite-dimensional hyperkähler manifolds associated with Hermitian-symmetric affine coadjoint orbits

[Variétés hyperkählériennes de dimension infinie associées à des orbites coadjointes affines hermitiennes-symétriques]

Tumpach, Alice Barbara¹ 

¹ Université Lille 1 Laboratoire Painlevé 59 655 Villeneuve d’Ascq Cedex (France)

Annales de l'Institut Fourier, Tome 59 (2009) no. 1, pp. 167-197

Abstract (VO)

In this paper, we construct a hyperkähler structure on the complexification ${𝒪}^{ℂ}$ of any Hermitian symmetric affine coadjoint orbit $𝒪$ of a semi-simple $L^{*}$-group of compact type, which is compatible with the complex symplectic form of Kirillov-Kostant-Souriau and restricts to the Kähler structure of $𝒪$. By a relevant identification of the complex orbit ${𝒪}^{ℂ}$ with the cotangent space $T𝒪$ of $𝒪$ induced by Mostow’s decomposition theorem, this leads to the existence of a hyperkähler structure on $T𝒪$ compatible with Liouville’s complex symplectic form and whose restriction to the zero section is the Kähler structure of $𝒪$. Explicit formulas of the metric in terms of the complex orbit and of the cotangent space are given. As a particular case, we obtain the one-parameter family of hyperkähler structures on a natural complexification of the restricted Grassmannian and on the cotangent space of the restricted Grassmannian previously constructed by the author via a hyperkähler reduction.

Résumé

Dans cet article, nous construisons une métrique hyperkählerienne sur l’orbite complexifiée ${𝒪}^{ℂ}$ de toute orbite coadjointe affine hermitienne symétrique $𝒪$ d’un $L^{*}$-groupe semi-simple de type compact, qui est compatible avec la forme symplectique complexe de Kirillov-Kostant-Souriau et qui se restreint en la structure kählérienne de $𝒪$. Grâce à une identification pertinente de l’orbite complexifiée ${𝒪}^{ℂ}$ avec l’espace cotangent $T𝒪$ de l’orbite de type compact $𝒪$ induite par le théorème de décomposition de Mostow, nous en déduisons l’existence d’une structure hyperkählérienne sur $T𝒪$ compatible avec la forme symplectique complexe de Liouville et dont la restriction à la section nulle est la structure kählérienne de $𝒪$. Des formules explicites de la métriques en termes de l’orbite complexifiée et de l’espace cotangent sont données. Comme cas particulier, nous retrouvons la famille à un paramètre de structures hyperkählériennes sur une complexification naturelle de la grassmannienne restreinte et sur l’espace cotangent de la grassmannienne restreinte précédemment obtenue par l’auteur via une réduction hyperkählérienne.

Détail

DOI : 10.5802/aif.2428

Classification : 17B65, 22E65, 58B25, 81R10, 46T05, 53D05
Keywords: Infinite-dimensional hyperkähler manifolds, affine coadjoint orbit, Hermitian-symmetric spaces, hyperkähler reduction, cotangent space, strongly orthogonal roots, $L^*$-algebra, restricted Grassmannian
Mots-clés : variétés hyperkählériennes de dimension infinie, orbites coadjointes affines, espaces hermitien-symétriques, réduction hyperkählérienne, espace cotangent, racines fortement orthogonales, $L^*$-algèbres, Grassmannienne restreinte