Integral representation of the $n$-th derivative in de Branges-Rovnyak spaces and the norm convergence of its reproducing kernel

[Représentation intégrale pour la dérivée $n$-ième des fonctions de l’espace de de Branges-Rovnyak et la convergence en norme de son noyau reproduisant]

Fricain, Emmanuel¹  ; Mashreghi, Javad² 

¹ Université Lyon 1 Institut Camille Jordan CNRS UMR 5208 43, boulevard du 11 Novembre 1918 69622 Villeurbanne (France)
² Université Laval Département de Mathématiques et de Statistique Québec, QC 61VOA6 (Canada)

Annales de l'Institut Fourier, Tome 58 (2008) no. 6, pp. 2113-2135

Abstract (VO)

In this paper, we give an integral representation for the boundary values of derivatives of functions of the de Branges–Rovnyak spaces $\mathscr{H}\left(b\right)$, where $b$ is in the unit ball of $H^{\infty }\left({ℂ}_{+}\right)$. In particular, we generalize a result of Ahern–Clark obtained for functions of the model spaces $K_b$, where $b$ is an inner function. Using hypergeometric series, we obtain a nontrivial formula of combinatorics for sums of binomial coefficients. Then we apply this formula to show the norm convergence of reproducing kernel $k_{\omega ,n}^b$ of evaluation of the $n$-th derivative of elements of $\mathscr{H}\left(b\right)$ at the point $\omega$ as it tends radially to a point of the real axis.

Résumé

Dans cet article, nous donnons une formule intégrale pour la valeur au bord des dérivées des fonctions de l’espace de de Branges-Rovnyak $\mathscr{H}\left(b\right)$, où $b$ est une fonction dans la boule unité de $H^{\infty }\left({ℂ}_{+}\right)$. En particulier, nous généralisons un résultat d’Ahern-Clark obtenu pour les fonctions de l’espace modèle $K_b$, où $b$ est une fonction intérieure. En utilisant les séries hypergéométriques, nous obtenons une formule non-triviale de combinatoire concernant la somme de coefficients binômiaux. Puis, nous appliquons cette formule pour démontrer que le noyau reproduisant $k_{\omega ,n}^b$, correspondant à l’évaluation de la dérivée $n$-ième des fonctions de $\mathscr{H}\left(b\right)$ au point $\omega$, converge en norme lorsque $\omega$ tend radialement vers un point de l’axe réel.

Détail

DOI : 10.5802/aif.2408

Classification : 46E22, 47A15, 33C05, 05A19
Keywords: De Branges-Rovnyak spaces, model subspaces of $H^2$, integral representation, hypergeometric functions
Mots-clés : espaces de Branges-Rovnyak, sous-espaces modèle de $H^2$, représentation intégrale, fonctions hypergéométriques