On the Fefferman-Phong inequality

[Sur l’inégalité de Fefferman-Phong]

Boulkhemair, Abdesslam¹ 

¹ Université de Nantes Laboratoire de Mathématiques Jean Leray CNRS UMR6629 2, rue de la Houssinière BP 92208 44322 Nantes (France)

Annales de l'Institut Fourier, Tome 58 (2008) no. 4, pp. 1093-1115

Abstract (VO)

We show that the number of derivatives of a non negative 2-order symbol needed to establish the classical Fefferman-Phong inequality is bounded by $\frac{n}{2}+4+ϵ$ improving thus the bound $2n+4+ϵ$ obtained recently by N. Lerner and Y. Morimoto. In the case of symbols of type $S_{0,0}^0$, we show that this number is bounded by $n+4+ϵ$; more precisely, for a non negative symbol $a$, the Fefferman-Phong inequality holds if ${\partial }_x^{\alpha }{\partial }_{\xi }^{\beta }a(x,\xi )$ are bounded for, roughly, $4\le \left|\alpha \right|+\left|\beta \right|\le n+4+ϵ$. To obtain such results and others, we first prove an abstract result which says that the Fefferman-Phong inequality for a non negative symbol $a$ holds whenever all fourth partial derivatives of $a$ are in an algebra $𝒜$ of bounded functions on the phase space, which satisfies essentially two assumptions : $𝒜$ is, roughly, translation invariant and the operators associated to symbols in $𝒜$ are bounded in $L^2$.

Résumé

Nous montrons que le nombre de dérivées d’un symbole non négatif d’ordre 2, nécessaire pour établir l’inégalité classique de Fefferman-Phong est majoré par $\frac{n}{2}+4+ϵ$ améliorant ainsi la borne $2n+4+ϵ$ obtenue récemment par N. Lerner et Y. Morimoto. Dans le cas des symboles de type $S_{0,0}^0$, nous montrons que ce nombre est majoré par $n+4+ϵ$ ; plus précisément, pour un symbole non négatif $a$, on a l’inégalité de Fefferman-Phong si les ${\partial }_x^{\alpha }{\partial }_{\xi }^{\beta }a(x,\xi )$ sont bornées en gros pour $4\le \left|\alpha \right|+\left|\beta \right|\le n+4+ϵ$. Pour obtenir ces résultats et d’autres, nous commençons par établir un résultat abstrait qui dit que l’inégalité de Fefferman-Phong pour un symbole non négatif $a$ a lieu pourvu que les dérivées partielles d’ordre 4 de $a$ soient dans une algèbre $𝒜$ de fonctions bornées sur l’espace des phases, qui vérifie essentiellement deux conditions  : $𝒜$ est, en gros, invariante par translation et les opérateurs associés aux symboles de $𝒜$ sont bornés dans $L^2$.

Détail

DOI : 10.5802/aif.2379

Classification : 35Axx, 35Sxx, 47G30, 58J40
Keywords: Fefferman-Phong inequality, Gårding inequality, symbol, $S^m_{\varrho ,\delta }$, pseudodifferential operator, Weyl quantization, Wick quantization, semi-boundedness, $L^2$ boundedness, algebra of symbols, uniformly local Sobolev space, Hölder space, semi-classical, Weyl-Hörmander class
Mots-clés : inégalité de Fefferman-Phong, inégalité de Gårding, symbole, $S^m_{\varrho ,\delta }$, opérateur pseudodifférentiel, quantification de Weyl, quantification de Wick, semi-borné, continuité $L^2$, algèbre de symboles, espace de Sobolev uniformément local, classe de Hölder, semi-classique, classe de Weyl-Hörmander