Semi-classical formula beyond the Ehrenfest time in quantum chaos. (I) Trace formula

[Formules semi-classiques au-delà du temps d’Erhenfest en chaos quantique. (I) La formule des traces.]

Faure, Frédéric¹

¹ Institut Fourier 100 rue des Maths, BP74 38402 St Martin d’Heres (France)

Annales de l'Institut Fourier, Tome 57 (2007) no. 7, pp. 2525-2599

Abstract (VO)

We consider a nonlinear area preserving Anosov map $M$ on the torus phase space, which is the simplest example of a fully chaotic dynamics. We are interested in the quantum dynamics for long time, generated by the unitary quantum propagator $\widehat{M}$. The usual semi-classical Trace formula expresses $Tr\left({\widehat{M}}^t\right)$ for finite time $t$, in the limit $\hslash \to 0$, in terms of periodic orbits of $M$ of period $t$. Recent work reach time $t\ll t_E/6$ where $t_E=log(1/\hslash )/\lambda$ is the Ehrenfest time, and $\lambda$ is the Lyapounov coefficient. Using a semi-classical normal form description of the dynamics uniformly over phase space, we show how to extend the trace formula for longer time of the form $t=C.t_E$ where $C$ is any constant, with an arbitrary small error.

Résumé

On considère une application $M$, Anosov non linéaire qui conserve l’aire sur le tore $T^2$. C’est un des exemples les plus simples d’une dynamique chaotique. On s’intéresse à la dynamique quantique pour les temps longs, générée par un opérateur unitaire $\widehat{M}$. La formule des traces semi-classique habituelle exprime $Tr\left({\widehat{M}}^t\right)$ pour $t$ fini, dans la limite $\hslash \to 0$, en termes d’orbites périodiques de $M$ de période $t$. Des travaux récents atteignent des temps $t\ll t_E/6$ où $t_E=log(1/\hslash )/\lambda$ est le temps d’Ehrenfest, et $\lambda$ est le coefficient de Lyapounov. En utilisant une description uniforme de la dynamique au moyen d’une forme normale semi-classique, nous montrons comment étendre la formule des traces pour des temps plus longs, de la forme $t=C.t_E$, où $C$ est une constante arbitraire, et avec une erreur arbitrairement petite.

Détail

DOI : 10.5802/aif.2341

Classification : 81Q50, 37D20
Keywords: Quantum chaos, hyperbolic map, semiclassical trace formula, Ehrenfest time
Mots-clés : chaos quantique, application hyperbolique, formule des traces semi-classique, temps d’Ehrenfest