[Construction d’espaces de Sobolev d’ordre fractionnaire associés à des champs de vecteurs sous-riemanniens]
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Given a smooth family of vector fields satisfying Chow-Hörmander’s condition of step 2 and a regularity assumption, we prove that the Sobolev spaces of fractional order constructed by the standard functional analysis can actually be “computed” with a simple formula involving the sub-riemannian distance.
Our approach relies on a microlocal analysis of translation operators in an anisotropic context. It also involves classical estimates of the heat-kernel associated to the sub-elliptic Laplacian.
Étant donné une famille de champs de vecteurs vérifiant la condition de Chow-Hörmander de rang 2 et une hypothèse de régularité, on montre que les espaces de Sobolev d’ordre fractionnaire construits par les procédés standards de l’analyse fonctionnelle admettent une caractérisation géométrique à l’aide de la distance sous-riemannienne induite par la famille . L’approche proposée est basée sur une analyse microlocale des opérateurs de translation dans un contexte anisotrope. Elle utilise aussi des estimations classiques du noyau de la chaleur associé à un Laplacien sous-elliptique.
Keywords: functional space, Sobolev space, sub-riemannian distance, sub-elliptic Laplacian, Weyl-Hörmander calculus
Mots-clés : espace fonctionnel, espace de Sobolev, distance sous-riemannienne, Laplacien sous-elliptic, calcul de Weyl-Hörmander
Mustapha, Sami 1 ; Vigneron, François 2
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Mustapha, Sami; Vigneron, François. Construction of Sobolev spaces of fractional order with sub-riemannian vector fields. Annales de l'Institut Fourier, Tome 57 (2007) no. 4, pp. 1023-1049. doi: 10.5802/aif.2285
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