Palindromic complexity of infinite words associated with simple Parry numbers

[Complexité palindromique des mots infinis associés aux nombres de Parry simples]

Ambrož, Petr¹  ; Masáková, Zuzana²  ; Pelantová, Edita²  ; Frougny, Christiane³ 

¹ Czech Technical University Doppler Institute for Mathematical Physics and Applied Mathematics Department of Mathematics, FNSPE Trojanova 13, 120 00 Praha 2 (Czech Republic)
² Doppler Institute for Mathematical Physics and Applied Mathematics and Department of Mathematics, FNSPE, Czech Technical University, Trojanova 13, 120 00 Praha 2 Czech Republic
³ Université Paris 7 LIAFA, UMR 7089 CNRS 2 place Jussieu 75251 Paris Cedex 05 (France) and Université Paris 8

Annales de l'Institut Fourier, Tome 56 (2006) no. 7, pp. 2131-2160

Abstract (VO)

A simple Parry number is a real number $\beta >1$ such that the Rényi expansion of $1$ is finite, of the form $d_{\beta }\left(1\right)=t_1\cdots t_m$. We study the palindromic structure of infinite aperiodic words $u_{\beta }$ that are the fixed point of a substitution associated with a simple Parry number $\beta$. It is shown that the word $u_{\beta }$ contains infinitely many palindromes if and only if $t_1=t_2=\cdots =t_{m-1}\ge t_m$. Numbers $\beta$ satisfying this condition are the so-called confluent Pisot numbers. If $t_m=1$ then $u_{\beta }$ is an Arnoux-Rauzy word. We show that if $\beta$ is a confluent Pisot number then $𝒫(n+1)+𝒫\left(n\right)=𝒞(n+1)-𝒞\left(n\right)+2$, where $𝒫\left(n\right)$ is the number of palindromes and $𝒞\left(n\right)$ is the number of factors of length $n$ in $u_{\beta }$. We then give a complete description of the set of palindromes, its structure and properties.

Résumé

Un nombre de Parry simple est un nombre réel $\beta >1$ tel que le développement de Rényi de $1$ est fini, de la forme $d_{\beta }\left(1\right)=t_1\cdots t_m$. Nous étudions la structure palindromique des mots infinis apériodiques $u_{\beta }$ qui sont point fixe d’une substitution associée à un nombre de Parry simple $\beta$. Nous montrons que le mot $u_{\beta }$ contient un nombre infini de palindromes si et seulement si $t_1=t_2=\cdots =t_{m-1}\ge t_m$. Les nombres $\beta$ satisfaisant cette condition sont connus sous le nom de nombres de Pisot confluents. Si de plus $t_m=1$ alors $u_{\beta }$ est un mot d’Arnoux-Rauzy. Nous montrons que si $\beta$ est un nombre de Pisot confluent alors $𝒫(n+1)+𝒫\left(n\right)=𝒞(n+1)-𝒞\left(n\right)+2$, où $𝒫\left(n\right)$ est le nombre de facteurs de longueur $n$ de $u_{\beta }$. Nous donnons aussi une description complète de l’ensemble des palindromes, de sa structure et de ses propriétés.

Détail

DOI : 10.5802/aif.2236

Classification : 68R15, 11A63
Keywords: beta-expansions, palindromic complexity
Mots-clés : beta-développements, complexité palindromique