Quaternionic contact structures in dimension $7$

[Structures de contact quaternioniennes en dimension $7$]

Duchemin, David¹ 

¹ Université du Québec à Montréal Centre interuniversitaire de recherche en géométrie différentielle et topologie CP 8888 Succursale centre-ville Montréal (QC) H3C 3P8 (Canada)

Annales de l'Institut Fourier, Tome 56 (2006) no. 4, pp. 851-885

Abstract (VO)

The conformal infinity of a quaternionic-Kähler metric on a $4n$-manifold with boundary is a codimension $3$ distribution on the boundary called quaternionic contact. In dimensions $4n-1$ greater than $7$, a quaternionic contact structure is always the conformal infinity of a quaternionic-Kähler metric. On the contrary, in dimension $7$, we prove a criterion for quaternionic contact structures to be the conformal infinity of a quaternionic-Kähler metric. This allows us to find the quaternionic-contact structures on the $7$-sphere close to the conformal infinity of the quaternionic hyperbolic metric and which are the boundaries of complete quaternionic-Kähler metrics on the $8$-ball. Finally, we construct a $25$-parameter family of Sp$\left(1\right)$-invariant complete quaternionic-Kähler metrics on the $8$-ball together with the $25$-parameter family of their boundaries.

Résumé

L’infini conforme d’une métrique quaternion-kählérienne complète sur une variété de dimension $4n$ est une distribution de contact quaternionienne de codimension $3$. En dimension $4n-1>7$, une telle structure de contact quaternionienne est toujours l’infini conforme d’une métrique quaternion-kählérienne. Cependant, nous décrivons dans cet article une condition nécessaire et suffisante pour qu’une telle distribution sur une variété de dimension $7$ soit l’infini conforme d’une métrique quaternion-kälérienne. Ceci nous permet de trouver les structures de contact quaternioniennes sur la sphère de dimension $7$, proches de la structure standard et qui sont les infinis conformes de métriques quaternion-kählériennes complètes sur la boule de dimension $8$. Nous construisons ensuite une famille à 25 paramètres de métriques quaternion-kählériennes Sp$\left(1\right)$-invariantes et complètes sur la boule de dimension $8$.

Détail

DOI : 10.5802/aif.2203

Classification : 53C25, 53C26, 53C28, 53D10, 58A10, 58J10
Keywords: contact structures, quaternionic-kähler metrics, twistor spaces
Mots-clés : géométrie différentielle, structures de contact, géométrie quaternion-kählérienne, twisteurs, complexes elliptiques