Geodesic
Sets of k-recurrence but not (k+1)-recurrence
[Ensembles de k-récurrence mais pas de k+1-récurrence]
Frantzikinakis, Nikos1 ; Lesigne, Emmanuel2 ; Wierdl, Máté3
1 Pennsylvania State University Department of Mathematics McAllister Building University Park, PA 16802 (USA)
2 Université François Rabelais de Tours Laboratoire de Mathématiques et Physique Théorique (UMR CNRS 6083) Faculté des Sciences et Techniques Parc de Grandmont 37200 Tours (France)
3 University of Memphis Department of Mathematical Sciences Memphis, TN 38152 (USA)
Annales de l'Institut Fourier, Tome 56 (2006) no. 4, pp. 839-849

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For every k∈ℕ, we produce a set of integers which is k-recurrent but not (k+1)-recurrent. This extends a result of Furstenberg who produced a 1-recurrent set which is not 2-recurrent. We discuss a similar result for convergence of multiple ergodic averages. We also point out a combinatorial consequence related to Szemerédi’s theorem.

Pour tout nombre entier k>0, nous construisons un ensemble d’entiers qui est un ensemble de récurrence multiple à l’ordre k mais pas à l’ordre k+1. Cela étend une construction de Furstenberg qui a construit un ensemble de récurrence qui n’est pas un ensemble de 2-récurrence. Nous obtenons un résultat similaire pour la convergence des moyennes ergodiques multiples. Comme conséquence de notre construction, nous exhibons aussi un résultat combinatoire relié au théorème de Szemerédi.

DOI : 10.5802/aif.2202
Classification : 38A, 11B
Keywords: Ergodic theory, recurrence, multiple recurrence, combinatorial additive number theory
Mots-clés : théorie ergodique, récurrence, récurrence multiple, combinatoire additive des nombres

Frantzikinakis, Nikos 1 ; Lesigne, Emmanuel 2 ; Wierdl, Máté 3

1 Pennsylvania State University Department of Mathematics McAllister Building University Park, PA 16802 (USA)
2 Université François Rabelais de Tours Laboratoire de Mathématiques et Physique Théorique (UMR CNRS 6083) Faculté des Sciences et Techniques Parc de Grandmont 37200 Tours (France)
3 University of Memphis Department of Mathematical Sciences Memphis, TN 38152 (USA) 
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Frantzikinakis, Nikos; Lesigne, Emmanuel; Wierdl, Máté. Sets of $k$-recurrence but not $(k+1)$-recurrence. Annales de l'Institut Fourier, Tome 56 (2006) no. 4, pp. 839-849. doi: 10.5802/aif.2202

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