Ramification dans le corps des modules

Flon, Stéphane¹ 

¹ Université de Lille 1, UFR de mathématiques pures et appliquées. Cité Scientifique BAT M2, 59655 Villeneuve d'Ascq, (France)

Annales de l'Institut Fourier, Tome 54 (2004) no. 2, pp. 253-293

Résumé (VO)

Soit $f$ un revêtement de la droite projective défini sur $\overline{\mathbb{Q}}$, de groupe de monodromie $G$. Soit $K$ le compositum des corps de rationalité des points de branchement $f$, et $M$ le corps des modules correspondants. Partant du lien entre corps des modules et espaces de Hurwitz, on étudie la géométrie et l’arithmétique de ces espaces et des espaces de configuration de points complétés pour évaluer la ramification dans $M/K$ des mauvaises places de $f$ qui ne divisent pas l’ordre de $G$, mais où les points de branchements de $f$ se rencontrent par réduction. On discute enfin la possibilité de limiter, par choix du lieu de branchement, la ramification dans les corps des modules aux seules places divisant $\left|G\right|$.

Abstract

Let $f$ be an algebraic cover of the projective line, defined over $\overline{\mathbb{Q}}$, with monodromy group $G$. Let $K$ be the compositum of residue fields of branch points of $f$, and let $M$ be the corresponding field of moduli. Starting from the link between field of moduli and Hurwitz spaces, we study both geometric and arithmetic aspects of the (completions of) Hurwitz spaces and configuration spaces, in order to estimate ramification of bad places of $f$ that do not divide $\left|G\right|$, but for which the branch points of $f$ meet when reduced. We then discuss the possibility to bound ramification in the field of moduli to places that do not divide $\left|G\right|$, just by choosing an appropriate branch locus.

Détail

DOI : 10.5802/aif.2018

Classification : 14D22, 14E22, 14H30
Mots-clés : corps des modules, espace de Hurwitz des modules grossiers, (G-)revêtements, problème inverse de Galois, conjecture ABC
Keywords: field of moduli, completions of Hurwitz spaces, (G)-covers, inverse Galois problem, ABC conjecture