Endomorphism algebras of motives attached to elliptic modular forms

[Les algèbres d'endomorphismes des motifs associés aux formes modulaires paraboliques]

Brown, Alexander F.¹ ; Ghate, Eknath P.¹

¹ Tata Institute of Fundamental Research, School of Mathematics, Homi Bhabha Road, Mumbai 400 005 (India)

Annales de l'Institut Fourier, Tome 53 (2003) no. 6, pp. 1615-1676

Abstract (VO)

We study the endomorphism algebra of the motive attached to a non-CM elliptic modular cusp form. We prove that this algebra has a sub-algebra isomorphic to a certain crossed product algebra $X$. The Tate conjecture predicts that $X$ is the full endomorphism algebra of the motive. We also investigate the Brauer class of $X$. For example we show that if the nebentypus is real and $p$ is a prime that does not divide the level, then the local behaviour of $X$ at a place lying above $p$ is essentially determined by the corresponding valuation of the $p$-th Fourier coefficient of the form.

Résumé

On étudie l’algèbre des endomorphismes du motif associé à une forme modulaire parabolique sans une multiplication complexe. On démontre que cette algèbre possède une sous-algèbre isomorphe à une algèbre $X$ de type produit croisé. La conjecture de Tate prédit que $X$ est l’algèbre des endomorphismes du motif. On étudie également la classe de Brauer de $X$. Par exemple quand le nebentypus est réel et $p$ est un nombre premier qui ne divise pas le niveau, on démontre que le comportement local de $X$ en une place dominant $p$ est déterminé essentiellement par la valuation correspondante du $p$-ième coefficient de Fourier de la forme.

Détail

DOI : 10.5802/aif.1989

Classification : 11G18
Keywords: endomorphism algebras, modular motives, Tate conjecture, filtered $(\phi ,N)$-modules, Newton polygons, symbols
Mots-clés : algèbres d’endomorphismes, motifs modulaires, conjecture de Tate, $(\phi ,N)$- modules filtrés, polygones de Newton, symboles