The geometry of null systems, Jordan algebras and von Staudt's theorem

[La géométrie des polarités nulles, algèbres de Jordan et le théorème de von Staudt]

Bertram, Wolfgang¹ 

¹ Université Nancy I, Institut Élie Cartan, BP 239, 54506 Vandoeuvre-les-Nancy Cedex (France)

Annales de l'Institut Fourier, Tome 53 (2003) no. 1, pp. 193-225

Abstract (VO)

We characterize an important class of generalized projective geometries $(X,X^{\text{'}})$ by the following essentially equivalent properties: (1) $(X,X^{\text{'}})$ admits a central null-system; (2) $(X,X^{\text{'}})$ admits inner polarities: (3) $(X,X^{\text{'}})$ is associated to a unital Jordan algebra. These geometries, called of the first kind, play in the category of generalized projective geometries a rôle comparable to the one of the projective line in the category of ordinary projective geometries. In this general set-up, we prove an analogue of von Staudt’s theorem which generalizes similar results by L.K. Hua.

Résumé

Nous caractérisons une classe importante de géométries projectives généralisées $(X,X^{\text{'}})$ par les propriétés équivalentes suivantes : (1) $(X,X^{\text{'}})$ admet une polarité nulle centrale; (2) $(X,X^{\text{'}})$ admet une polarité intérieure; (3) $(X,X^{\text{'}})$ est associée à une algèbre de Jordan avec élément neutre. Dans ce cadre, nous démontrons un analogue du théorème de von Staudt qui généralise des résultats similaires de L.K. Hua.

Détail

DOI : 10.5802/aif.1942

Classification : 17C37, 51A05, 51A50, 51N25, 53C35
Keywords: null-system, projective geometry, polar geometry, symmetric space, Jordan algebra
Mots-clés : polarité nulle, géométrie projective, géométrie polaire, espace symétriques, algèbre de Jordan