Ergodic averages with deterministic weights

[Moyennes ergodiques pondérées par des poids déterministes]

Durand, Fabien¹ ; Schneider, Dominique²

¹ Universidad de Chile, Centro de Modelamiento Matemático, Casilla 170-3, Correo 3, Santiago (chili) \& Université de Picardie Jules Verne, Faculté de Mathématiques \& d'Informatique, Pôle de Saint-Leu, 33 rue Saint-Leu, 80039 Amiens Cedex 1 (France)
² Université de Picardie Jules Verne, Faculté de Mathématiques \& d'Informatique, Pôle de Saint-Leu, 33 rue Saint-Leu, 80039 Amiens Cedex 1 (France)

Annales de l'Institut Fourier, Tome 52 (2002) no. 2, pp. 561-583

Abstract (VO)

We study the convergence of the ergodic averages $\frac{1}{N}{\sum }_{k=0}^{N-1}\theta \left(k\right)f\circ T^{u_k}$ where ${\left(\theta \left(k\right)\right)}_{k\in \mathbb{N}}$ is a bounded sequence and ${\left(u_k\right)}_{k\in \mathbb{N}}$ a strictly increasing sequence of integers such that ${\mathrm{Sup}}_{\alpha \in ℝ}\left|{\sum }_{k=0}^{N-1}\theta \left(k\right)\exp \left(2i\pi \alpha u_k\right)\right|=O\left(N^{\delta }\right)$ for some $\delta <1$. Moreover we give explicit such sequences $\theta$ and $u$ and we investigate in particular the case where $\theta$ is a $q$-multiplicative sequence.

Résumé

Nous étudions la convergence de moyennes ergodiques $\frac{1}{N}{\sum }_{k=0}^{N-1}\theta \left(k\right)f\circ T^{u_k}$ où ${\left(\theta \left(k\right)\right)}_{k\in \mathbb{N}}$ est une suite bornée et ${\left(u_k\right)}_{k\in \mathbb{N}}$ une suite d’entiers strictement croissante tels que ${\mathrm{Sup}}_{\alpha \in ℝ}\left|{\sum }_{k=0}^{N-1}\theta \left(k\right)\exp \left(2i\pi \alpha u_k\right)\right|=O\left(N^{\delta }\right)$ avec $\delta <1$. De plus nous donnons des exemples explicites de telles suites $\theta$ et $u$ puis, nous nous intéressons aux cas où $\theta$ est une suite $q$- multiplicative.

Détail

DOI : 10.5802/aif.1894

Classification : 37A05, 28D05, 11K99
Keywords: weighted ergodic averages, central limit theorem, almost sure convergence, $q$-multiplicative sequences, substitutive sequences, generalized Thue-Morse sequences
Mots-clés : moyennes ergodiques pondérées, théorème ..., convergence presque sûre, suites multiplicatives $q$, suites substitutives, suite de Thue-Morse généralisées