Solution d'une conjecture de C. Berenstein - A. Yger et invariants de contact à l'infini

Hickel, Michel¹

¹ Université Bordeaux I, Laboratoire de Mathématiques Pures, 351 cours de la Libération, 33405 Talence Cedex (France)

Annales de l'Institut Fourier, Tome 51 (2001) no. 3, pp. 707-744

Résumé (VO)

Soient $k$ un corps commutatif et $I=(p_1,\cdots ,p_m)k_n\left[X\right]$ un idéal de l’anneau des polynômes $k[X_1,\cdots ,X_n]$ (éventuellement $I=k_n\left[X\right]$). Nous prouvons une conjecture de C. Berenstein - A. Yger qui affirme que pour tout polynôme $p$, élément de la clôture intégrale $\overline{I}$ de l’idéal $I$, on a une représentation

$$p^m=\sum _{1\le i\le m}{p}_i{q}_i,\text{avec}maxdeg\left(q_i{p}_i\right)\le mdegp+m{d}_1\cdots d_m,$$

où $d_i=deg{p}_i,1\le i\le m$.

Abstract

Let $k$ be a commutative field and $I=(p_1,\cdots ,p_m)k_n\left[X\right]$ an ideal of the polynomial ring $k[X_1,\cdots ,X_n]$ (possibly $I=k_n\left[X\right]$). We prove a conjecture of C. Berenstein - A. Yger asserting that for every $p$ in the integral closure of the ideal $I$, one has a representation

$$p^m=\sum _{1\le i\le m}{p}_i{q}_i,\text{with}maxdeg\left(q_i{p}_i\right)\le mdegp+m{d}_1\cdots d_m,$$

where $d_i=deg{p}_i,1\le i\le m$.

Détail

DOI : 10.5802/aif.1834

Classification : 14A05, 13A15, 32C99
Mots-clés : Nullstellensatz effectif, clôture intégrale des idéaux, inégalités de Łojasiewicz
Keywords: effective Nullstellensatz, integral closure of ideals, global Łojasiewicz inequalities