Local Borcherds products

[Produits de Borcherds locaux]

Bruinier, Jan Hendrik¹  ; Freitag, Eberhard¹

¹ Universität Heidelberg, Mathematisches Institut, Im Neuenheimer Feld 288, 69120 Heidelberg (Allemagne)

Annales de l'Institut Fourier, Tome 51 (2001) no. 1, pp. 1-26

Abstract (VO)

The local Picard group at a generic point of the one-dimensional Baily-Borel boundary of a Hermitean symmetric quotient of type $\mathrm{O}(2,n)$ is computed. The main ingredient is a local version of Borcherds’ automorphic products. The local obstructions for a Heegner divisor to be principal are given by certain theta series with harmonic coefficients. Sometimes they generate Borcherds’ space of global obstructions. In these particular cases we obtain a simple proof of a result due to the first author: Suppose that $\Gamma \subset \mathrm{O}(2,n)$ is the orthogonal group attached to an even unimodular lattice. Then every meromorphic modular form for $\Gamma$, whose zeros and poles lie on Heegner divisors, is given by a Borcherds product.

Résumé

On calcule le groupe de Picard local en un point générique de la limite de Baily-Borel de dimension 1 d’un quotient symétrique hermitien de type $\mathrm{O}(2,n)$. Le principal ingrédient est une version locale des produits automorphes de Borcherds. Les obstructions locales pour qu’un diviseur de Heegner soit principal sont données par certaines séries thêta à des coefficients harmoniques. Elles engendrent dans certains cas l’espace de Borcherds des obstructions globales. Dans ces cas particuliers, nous obtenons une preuve simple d’un résultat dû au premier auteur : supposons que $\Gamma \subset \mathrm{O}(2,n)$ soit le groupe orthogonal attaché à un réseau unimodulaire pair. Alors, chaque forme modulaire méromorphe pour $\Gamma$, dont les zéros et les pôles s’étendent sur les diviseurs de Heegner, est donnée par un produit de Borcherds.

Détail

DOI : 10.5802/aif.1812

Classification : 11F55, 14L35
Keywords: automorphic forms, automorphic product, orthogonal group, Heegner divisor, local Picard group
Mots-clés : formes automorphes, produit automorphe, group orthogonal, diviseur de Heegner, groupe de Picard local