Range of the horocyclic Radon transform on trees

Tarabusi, Enrico Casadio  ; Cohen, Joel M. ; Colonna, Flavia

Annales de l'Institut Fourier, Tome 50 (2000) no. 1, pp. 211-234

Abstract (VO)

In this paper we study the Radon transform $R$ on the set $\mathscr{H}$ of horocycles of a homogeneous tree $T$, and describe its image on various function spaces. We show that the functions of compact support on $\mathscr{H}$ that satisfy two explicit Radon conditions constitute the image under $R$ of functions of finite support on $T$. We extend these results to spaces of functions with suitable decay on $T$, whose image under $R$ satisfies corresponding decay conditions and contains distributions on $\mathscr{H}$ that are not defined pointwise. We also show that $R$ is one-to-one on these spaces. Formulas are expressed in an invariant fashion in terms of a measure on $\mathscr{H}$ preserved by the full automorphism group of $T$.

Résumé

Dans cet article on étudie la transformation de Radon $R$ sur l’ensemble $\mathscr{H}$ des horocycles d’un arbre homogène $T$, et l’on décrit l’image de divers espaces fonctionnels. On montre que l’espace des fonctions à support compact sur $\mathscr{H}$ qui satisfont à deux conditions de Radon décrites explicitement est égal à l’image par $R$ de l’espace des fonctions à support fini sur $T$. On étend ces résultats à des espaces de fonctions à décroissance appropriée sur $T$, dont l’image par $R$ est décrite par des conditions de décroissance et contient des distributions sur $\mathscr{H}$ qui ne sont pas définies ponctuellement. On montre aussi que $R$ est injective sur ces espaces. Les formules sont exprimées de façon invariante en termes d’une mesure sur $\mathscr{H}$ qui est préservée par le groupe des automorphismes de $T$.

Détail

DOI : 10.5802/aif.1752