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Definitions of Sobolev classes on metric spaces
Annales de l'Institut Fourier, Tome 49 (1999) no. 6, pp. 1903-1924

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There have been recent attempts to develop the theory of Sobolev spaces W 1,p on metric spaces that do not admit any differentiable structure. We prove that certain definitions are equivalent. We also define the spaces in the limiting case p=1.

Dans cet article nous comparons les différentes définitions qui ont été données de l’espace de Sobolev associé à un espace métrique qui n’admet aucune structure différentielle. Nous prouvons en particulier que l’espace de Sobolev W 1,p qu’on obtient à partir de la métrique de Carnot-Carathéodory associée à une famille de champs de vecteurs {X 1 ,⋯,X m } coïncide pour p>1 avec l’espace naturel des fonctions u∈L p telles que X j u∈L p pour j=1,...,m lorsque toute fonction lipschitzienne satisfait une inégalité de Poincaré intrinsèque, convenable.

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