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On présente ici une approche directe et géométrique pour le calcul des déterminants d’opérateurs de type Schrödinger sur un graphe fini. Du calcul de l’intégrale de Fresnel associée, on déduit le déterminant. Le calcul des intégrales de Fresnel est grandement facilité par l’utilisation simultanée du théorème de Fubini et d’une version linéaire du calcul symbolique des opérateurs intégraux de Fourier. On obtient de façon directe une formule générale exprimant le déterminant en terme des conditions aux bords et du propagateur. Dans le cas d’un opérateur de Sturm-Liouville, le propagateur s’exprime simplement à l’aide de l’application de Poincaré. Le passage au continu permet de retrouver directement la formule de Levit-Smilansky pour le déterminant d’un opérateur de Sturm-Liouville : on introduit et on calcule une régularisation des déterminants d’opérateurs de Sturm-Liouville, appelée régularisation de Feynman, parce que c’est celle qu’on doit utiliser pour calculer la limite semi-classique à partir des intégrales de Feynman. On peut ainsi donner une preuve directe des formules de traces semi-classiques en restant proche de l’intuition des intégrales de Feynman.
S. Levit and U. Smilansky founded twenty years ago a very nice formula for the (regularized-)determinant of a Sturm-Liouville operator in terms of the associated Poincaré mapping. In this paper, I present a direct approach to such formulae by computing some Fresnel integrals. The computation uses the symbolic calculus of Fourier Integral Operators.
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Colin De Verdière, Yves. Déterminants et intégrales de Fresnel. Annales de l'Institut Fourier, Tome 49 (1999) no. 3, pp. 861-881. doi: 10.5802/aif.1696
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