Développements asymptotiques $q$-Gevrey et séries $Gq$-sommables

Zhang, Changgui 

Annales de l'Institut Fourier, Tome 49 (1999) no. 1, pp. 227-261

Résumé (VO)

Nous donnons une version $q$-analogue de l’asymptotique Gevrey et de la sommabilité de Borel, dues respectivement à G. Watson et E. Borel et systématiquement développées depuis une quinzaine d’années par J.-P. Ramis, Y. Sibuya, etc. Le but de ces auteurs était l’étude des équations différentielles dans le champ complexe. De même notre but est l’étude des équations aux $q$-différences dans le champ complexe, dans la ligne de G.D. Birkhoff et W.J. Trjitzinsky.

Plus précisément, nous introduisons une nouvelle notion d’asymptoticité que nous appelons développements asymptotiques $q$-Gevrey d’ordre 1. Elle est adaptée à la classe des séries entières $q$-Gevrey d’ordre 1 étudiée par J.-P. Bézivin, J.-P. Ramis, etc. Nous définissons ensuite la classe des séries entières $Gq$-sommables d’ordre 1 et nous en donnons une caractérisation en termes de transformations de Borel et de Laplace $q$-analogues. Nous montrons que toute série entière solution formelle d’une équation aux $q$-différences linéaire à coefficients analytiques est $Gq$-sommable d’ordre 1 lorsque le polygone de Newton de l’équation possède une seule pente égale à 1. Une généralisation de ce travail quand le polygone de Newton est arbitraire fera l’objet d’un article ultérieur.

Abstract

We give a $q$-analogous version of the Gevrey asymptotics and of the Borel summability respectively due to G. Watson and E. Borel and developed during the last fifteen years by J.-P. Ramis, Y. Sibuya, ... The goal of these authors was the study of ordinary differential equations in the complex plane. In the same manner, our goal is the study of $q$-difference equations in the complex plane along the way indicated by G.D. Birkhoff and W.J. Trjitzinsky.

More precisely, we introduce a new notion of asymptoticity which we call $q$-Gevrey asymptotic expansions of order 1. This notion is well adapted to the class of $q$-Gevrey power series of order 1 studied by J.-P. Bézivin, J.-P. Ramis and others. Next, we define the class of $Gq$-summable power series of order 1 and give a characterization in terms of $q$-Borel-Laplace transforms. We show that every power series satisfying a linear analytic $q$-difference equation is $Gq$-summable of order 1 when the associated Newton polygon has a unique slope equal to 1. We shall study a generalization of this work when the Newton polygon is arbitrary in a later paper.

Détail

DOI : 10.5802/aif.1672