Sur les actions affines des groupes discrets

Zeghib, Abdelghani

Annales de l'Institut Fourier, Tome 47 (1997) no. 2, pp. 641-685

Résumé (VO)

On pourrait espérer “classifier” les actions différentiables en préservant le volume des réseaux de $\mathrm{SL}(n,ℝ)$ sur les variétés compactes. On en est cependant loin. Ainsi, plusieurs auteurs ont récemment étudié les actions des réseaux de $\mathrm{SL}(n,ℝ)$ sur des variétés de dimension relativement basse, précisément, $\le n$, et vérifiant en plus certaines conditions géométriques ou dynamiques. On montre alors qu’il s’agit essentiellement de l’action usuelle de $\mathrm{SL}(n,\mathbb{Z})$ sur un tore de dimension $n$. Ici, on généralise ce fait aux actions des réseaux de $\mathrm{SL}(n,ℝ)$ sur des variétés de dimension $n+1$, et qui préservent une connexion.

Abstract

One would hope that, for lattices in $\mathrm{SL}(n,ℝ)$, $n\ge 3$, differentiable, volume preserving actions on compact manifolds might be “classifiable”. However, we are far from realizing this goal, and so many authors have recently been considering actions of lattices in $\mathrm{SL}(n,ℝ)$ on manifolds of relatively low dimension, precisely, of dimension $\le n$, and which, in addition, satisfy some extra dynamical or geometrical conditions. It has been shown, for example, that there is essentially no new action, other than the standard one of $\mathrm{SL}(n,\mathbb{Z})$ on the $n$-torus. Here we generalize this fact to connection preserving actions of lattices in $\mathrm{SL}(n,ℝ)$ on manifolds of dimension $n+1$.

Détail

DOI : 10.5802/aif.1577