Ordre, convergence et sommabilité de produits de séries de Dirichlet

Kahane, Jean-Pierre; Queffélec, Hervé

doi:10.5802/aif.1571

Kahane, Jean-Pierre ; Queffélec, Hervé

Annales de l'Institut Fourier, Tome 47 (1997) no. 2, pp. 485-529

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Résumé (VO)
Abstract

L’article donne des réponses optimales ou presque optimales aux questions suivantes, qui remontent à Stieltjes, Landau et Bohr, et concernent des séries de Dirichlet $A_{j} = \sum_{n = 1}^{\infty} a (j, n) n^{- s}$ $(j = 1, 2, \dots, k)$ et leur produit $C = \sum_{n = 1}^{\infty} c (n) n^{- s} .$

1. Supposant que les $A_{j}$ sont convergentes aux points $ρ_{j}$ et absolument convergentes aux points $ρ_{j} + τ_{j},$ en quels points $s$ s’ensuit-il que $C$ est convergente ?

2. Supposant que les $A_{j}$ sont convergentes aux points $ρ_{j},$ en quels points $s$ s’ensuit-il que $C$ est convergente ?

3. Supposant que les $A_{j}$ sont $α_{j}$ -sommables aux points $ρ_{j},$ en quels points $s$ s’ensuit-il que $C$ est $β$ -sommable ?

Les réponses font intervenir des fonctions convexes qui jouent un rôle extrémal pour une autre question : ce sont les plus grandes fonctions d’ordre (dites aussi fonctions de Lindelöf) compatibles avec les données.

Optimal or almost optimal answers are given to the following questions, going back to Stieltjes, Landau and Bohr, about Dirichlet series $A_{j} = \sum_{n = 1}^{\infty} a (j, n) n^{- s}$ $(j = 1, 2, \dots, k)$ and their product $C = \sum_{n = 1}^{\infty} c (n) n^{- s} .$

1. Assuming that the $A_{j}$ converge at points $ρ_{j}$ and converge absolutely at points $ρ_{j} + τ_{j},$ at which points $s$ does it follow that $C$ converges ?

2. Assuming that the $A_{j}$ converge at points $ρ_{j},$ at which points $s$ does it follow that $C$ converges ?

3. Assuming that the $A_{j}$ are $α_{j}$ -summable at points $ρ_{j},$ at which points $s$ does it follow that $C$ is $β$ -summable ?

The answers involve convex functions which enjoy another extremal property: they are the largest order (= Lindelöf) functions compatible with the data.

MR Zbl

DOI : 10.5802/aif.1571

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     author = {Kahane, Jean-Pierre and Queff\'elec, Herv\'e},
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     journal = {Annales de l'Institut Fourier},
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Kahane, Jean-Pierre; Queffélec, Hervé. Ordre, convergence et sommabilité de produits de séries de Dirichlet. Annales de l'Institut Fourier, Tome 47 (1997) no. 2, pp. 485-529. doi: 10.5802/aif.1571

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