Crible et 3-rang des corps quadratiques

Belabas, Karim 

Annales de l'Institut Fourier, Tome 46 (1996) no. 4, pp. 909-949

Résumé (VO)

Considérons le cardinal $h_3^{*}\left(\Delta \right)$ de l’ensemble des racines cubiques de l’unité dans le groupe des classes de $\mathbb{Q}\left(\sqrt{\Delta }\right)$, où $\Delta$ est un discriminant fondamental. Un résultat de Davenport et Heilbronn calcule la valeur moyenne de ces nombres quand $\Delta$ varie. On obtient ici géométriquement une borne explicite pour le reste, avec la possibilité supplémentaire de restreindre les $\Delta$ à des progressions arithmétiques. Des techniques de crible permettent alors d’évaluer la 3-partie des $\mathbb{Q}\left(\sqrt{\pm P_k}\right)$, où $P_k$ est pseudo-premier d’ordre $k$. On contrôle ainsi simultanément le 2-rang et le 3-rang du groupe des classes $\mathrm{Cl}\left(\mathbb{Q}\right(\sqrt{\Delta }\left)\right)$. L’auteur donne en particulier une borne pour le 3-rang en moyenne des $\mathbb{Q}\left(\sqrt{\pm p}\right)$, où $p$ est premier.

Abstract

Call $h_3^{*}\left(\Delta \right)$ the number of cube roots of unity in the class group of $\mathbb{Q}\left(\sqrt{\Delta }\right)$, where $\Delta$ is a fundamental discriminant. Davenport and Heilbronn computed the mean value of these numbers when $\Delta$ tends to $\pm \infty$. The author gives a general geometric argument yielding an explicit bound for the error term, with the additional possibility of restricting $\Delta$ to arithmetic progressions. Sieve techniques then produce results about the 3-parts of the groups $\mathrm{Cl}\left(\mathbb{Q}\right(\sqrt{\Delta }\left)\right)$, where $P_k$ is an almost-prime of order $k$. In this way, one controls simultaneously both the 2-rank and the 3-rank of the class group $\mathrm{Cl}\left(\mathbb{Q}\right(\sqrt{\Delta }\left)\right)$. As a special case, the author gives a bound for the mean 3-rank of the $\mathbb{Q}\left(\sqrt{\pm p}\right)$, where $p$ is prime.

Détail

DOI : 10.5802/aif.1535