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A Stark conjecture “over 𝐙” for abelian L-functions with multiple zeros
Annales de l'Institut Fourier, Tome 46 (1996) no. 1, pp. 33-62

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Suppose K/k is an abelian extension of number fields. Stark’s conjecture predicts, under suitable hypotheses, the existence of a global unit ε of K such that the special values L ′ (χ,0) for all characters χ of Gal /(K/k) can be expressed as simple linear combinations of the logarithms of the different absolute values of ε.

In this paper we formulate an extension of this conjecture, to attempt to understand the values L (r) (χ,0) when the order of vanishing r may be greater than one. This conjecture no longer predicts the existence of individual special global units, but rather of special elements in an exterior power of the Galois module of global units (or S-units). We also discuss connections between this conjecture, class number formulas, and Euler systems.

Soit M/k une extension abélienne de corps de nombres. La conjecture de Stark prédit, sous des hypothèses convenables, l’existence d’une unité globale ε de K telle que les valeurs spéciales L ′ (χ,0) (pour tout caractère χ de Gal (K/k)) s’expriment comme des combinaisons linéaires des logarithmes des différentes valeurs absolues de ε.

Dans cet article nous formulons une généralisation de cette conjecture, pour essayer de comprendre les valeurs L (r) (χ,0) même quand r=ord s=0 L(χ,s)>1. Notre conjecture ne prédit plus l’existence d’unités globales particulières, mais elle prédit l’existence des éléments spéciaux dans une puissance extérieure du module galoisien des unités globales (ou S-unités). Nous discutons aussi les connexions entre cette conjecture, les formules de nombre de classes et les systèmes d’Euler.

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