Regularity properties of commutators and $BMO$-Triebel-Lizorkin spaces

Youssfi, Abdellah 

Annales de l'Institut Fourier, Tome 45 (1995) no. 3, pp. 795-807

Abstract (VO)

In this paper we consider the regularity problem for the commutators $\left(\right[b,R_k]{)}_{1\le k\le n}$ where $b$ is a locally integrable function and $(R_j{)}_{1\le j\le n}$ are the Riesz transforms in the $n$-dimensional euclidean space ${ℝ}^n$. More precisely, we prove that these commutators $\left(\right[b,R_k]{)}_{1\le k\le n}$ are bounded from $L^p$ into the Besov space ${\dot{B}}_p^{s,p}$ for $1<p<+\infty$ and $0<s<1$ if and only if $b$ is in the $BMO$-Triebel-Lizorkin space ${\dot{F}}_{\infty }^{s,p}$. The reduction of our result to the case $p=2$ gives in particular that the commutators $\left(\right[b,R_k]{)}_{1\le k\le n}$ are bounded form $L^2$ into the Sobolev space ${\dot{H}}^s$ if and only if $b$ is in the $BMO$-Sobolev space ${\dot{F}}_{\infty }^{s,2}$.

Résumé

Nous nous intéressons à la régularité des commutateurs $\left(\right[b,R_k]{)}_{1\le k\le n}$ où $b$ est une fonction localement intégrable et $(R_j{)}_{1\le j\le n}$ désignent les transformées de Riesz. Nous montrons que si $1<p<+\infty$ et $0<s<1$, alors les commutateurs $\left(\right[b,R_k]{)}_{1\le k\le n}$ sont continus de $L^p({ℝ}^n)$ dans l’espace de Besov ${\dot{B}}_p^{s,p}$ si et seulement si $b$ appartient à l’espace $BMO$-Triebel-Lizorkin ${\dot{F}}_{\infty }^{s,p}$. En particulier, si $p=2$, les commutateurs $\left(\right[b,R_k]{)}_{1\le k\le n}$ sont continus de $L^2({ℝ}^n)$ dans l’espace de Sobolev ${\dot{H}}^s$ si et seulement si $b$ appartient à l’espace $BMO$-Sobolev ${\dot{F}}_{\infty }^{s,2}$.

Détail

DOI : 10.5802/aif.1474