Calcul fonctionnel précisé pour des opérateurs elliptiques complexes en dimension un (et applications à certaines équations elliptiques complexes en dimension deux)

Auscher, Pascal  ; Tchamitchian, Philippe 

Annales de l'Institut Fourier, Tome 45 (1995) no. 3, pp. 721-778

Résumé (VO)

Dans cet article, on considère les opérateurs différentiels $T=b\left(x\right)D\left(a\right(x\left)D\right)$, où $a\left(x\right)$ et $b\left(x\right)$ sont deux fonctions mesurables, bornées et accrétives, et $D=-i\frac{d}{dx}$. Les résultats principaux portent sur les propriétés fonctionnelles de $T$, de sa racine carrée, avec applications à l’équation elliptique ${\partial }_t^{2}u-Tu=0$ sur $ℝ\times [0,+\infty [$. On démontre que $T^{1/2}{D}^{-1}$ est un opérateur de Calderón-Zygmund qui dépend analytiquement du couple $(a,b)$. Les estimations ponctuelles optimales sur le noyau du semi-groupe $\exp (-t{L}^{1/2})$ et le calcul fonctionnel permettent de développer une théorie des espaces de Hardy associés à $T$ et fournissent les résultats d’existence optimaux concernant les problèmes aux limites pour l’équation elliptique ci-dessus avec données $L^p$. On obtient un principe du maximum faible ainsi que des résultats d’unicité en utilisant, notamment, un principe de Harnack faible pour le gradient des solutions faibles de certaines équations elliptiques complexes en dimension 2.

Abstract

In this paper, we study the functional properties of the square root of differential operators of the form $b\left(x\right)D\left(a\right(x\left)D\right)$ where $a\left(x\right)$ and $b\left(x\right)$ are bounded, measurable and accretive functions, and $D=-i\frac{d}{dx}$. We prove that $T^{1/2}{D}^{-1}$ is a Calderón-Zygmund operator which depends analytically on the pair $(a,b)$. We prove that the semi-group operator $exp(-t{T}^{1/2})$ is bounded on all $L^p\left(ℝ\right)$ with sharp pointwise estimates on its kernel. This allows to develop a theory of Hardy spaces associated with $T$. In a second part we prove existence and uniqueness results of the Dirichlet (and Neumann and regularity) problem for the elliptic equation ${\partial }_t^{2}u-Tu=0$ with data in $L^p\left(ℝ\right)$, $1<p<+\infty$ and we obtain a weak maximum principle ($p=+\infty$). We also prove a weak Harnack principle for the gradient of weak solutions of some two dimensional complex elliptic equations.

Détail

DOI : 10.5802/aif.1472