Motives over totally real fields and $p$-adic $L$-functions

Panchishkin, Alexei A. 

Annales de l'Institut Fourier, Tome 44 (1994) no. 4, pp. 989-1023

Abstract (VO)

Special values of certain $L$ functions of the type $L(M,s)$ are studied where $M$ is a motive over a totally real field $F$ with coefficients in another field $T$, and

$$L(M,s)=\prod _{𝔭}{L}_{𝔭}(M,𝒩{𝔭}^{-s})$$

is an Euler product $𝔭$ running through maximal ideals of the maximal order ${𝒪}_F$ of $F$ and

$$\begin{array}{cc}\hfill L_{𝔭}(M,X{)}^{-1}& =(1-{\alpha }^{\left(1\right)}(𝔭\left)X\right)·(1-{\alpha }^{\left(2\right)}(𝔭\left)X\right)·...·(1-\alpha (d\left)\right(𝔭\left)X\right)\hfill \\ & =1+A_1\left(𝔭\right)X+...+A_d\left(𝔭\right)X^d\hfill \end{array}$$

being a polynomial with coefficients in $T$. Using the Newton and the Hodge polygons of $M$ one formulate a conjectural criterium for the existence of a $p$-adic analytic continuation of the special values. This conjecture is verified in a number of cases related to Hilbert modular forms.

Résumé

On étudie des valeurs spéciales des fonctions $L$ de type $L(M,s)$ où $M$ est un motif sur un corps totalement réel $F$ à coefficients dans un corps de nombres $T$, et

$$L(M,s)=\prod _{𝔭}{L}_{𝔭}(M,𝒩{𝔭}^{-s})$$

est un produit eulérien étendu sur tous les idéaux maximaux $𝔭$ de l’ordre maximal ${𝒪}_F$ de $F$ et

$$\begin{array}{cc}\hfill L_{𝔭}(M,X{)}^{-1}& =(1-{\alpha }^{\left(1\right)}(𝔭\left)X\right)·(1-{\alpha }^{\left(2\right)}(𝔭\left)X\right)·...·(1-\alpha (d\left)\right(𝔭\left)X\right)\hfill \\ & =1+A_1\left(𝔭\right)X+...+A_d\left(𝔭\right)X^d\hfill \end{array}$$

est un polynôme à coefficients dans $T$. À l’aide des polygones de Newton et de Hodge de $M$ on formule des conditions conjecturales de l’existence d’un prolongement $p$-adique analytique de ces valeurs spéciales. On vérifie cette conjecture dans une série d’exemples liés aux formes modulaires de Hilbert.

Détail

DOI : 10.5802/aif.1424