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We define on an ordered semi simple symmetric space a family of spherical functions by an integral formula similar to the Harish-Chandra integral formula for spherical functions on a Riemannian symmetric space of non compact type. Associated with these spherical functions we define a spherical Laplace transform. This transform carries the composition product of invariant causal kernels onto the ordinary product. We invert this transform when is a complex group, a real form of , and when is a symmetric space of rank one.
Sur un espace symétrique semi simple ordonné nous définissons une famille de fonctions sphériques par une représentation intégrale semblable à la représentation intégrale de Harish Chandra des fonctions sphériques sur un espace riemannien symétrique de type non compact. Puis nous associons à ces fonctions sphériques une transformation de Laplace sphérique. Dans cette transformation le produit de composition de deux noyaux causaux invariants a pour image le produit ordinaire de leurs transformées. Nous établissons une formule d’inversion pour cette transformation lorsque est un groupe complexe et une forme réelle de , et lorsque est un espace symétrique de rang un.
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Faraut, Jacques; Hilgert, Joachim; Ólafsson, Gestur. Spherical functions on ordered symmetric spaces. Annales de l'Institut Fourier, Tome 44 (1994) no. 3, pp. 927-965. doi: 10.5802/aif.1421
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