Produit tensoriel de matrices, homologie cyclique, homologie des algèbres de Lie

Gaucher, Philippe 

Annales de l'Institut Fourier, Tome 44 (1994) no. 2, pp. 413-431

Résumé (VO)

On munit, naturellement, d’un surproduit l’algèbre extérieure de l’homologie cyclique d’une $k$-algèbre commutative $A$ ($k$ étant un corps de caractéristique zéro) à l’aide du produit de Loday-Quillen. On munit d’un surproduit l’homologie de l’algèbre de Lie du groupe linéaire général de $A$ à l’aide du produit tensoriel de matrices. On montre que l’isomorphisme d’algèbres de Hopf de Loday-Quillen est compatible avec les surproduits définis ci-dessus. On obtient ainsi une interprétation du produit de Loday-Quillen, de nature combinatoire, en terme d’opérations sur les matrices.

Abstract

We construct, in a natural way, a ring object structure on the exterior algebra of the cyclic homology of a commutative $k$-algebra $A$ ($k$ being a characteristic zero field) using the Loday-Quillen product. We construct a ring object structure on the homology of the Lie algebra of the general linear group of $A$ using the tensor product of matrices. We prove that Loday-Quillen’s Hopf algebra isomorphism is compatible with the ring object structures defined above. Thus we get an interpretation of the Loday-Quillen product, of a combinatorial nature, in terms of matrix operations.

Détail

DOI : 10.5802/aif.1404