Preparation theorems for matrix valued functions

Dencker, Nils

Annales de l'Institut Fourier, Tome 43 (1993) no. 3, pp. 865-892

Abstract (VO)

We generalize the Malgrange preparation theorem to matrix valued functions $F(t,x)\in C^{\infty }(\mathbf{R}\times {\mathbf{R}}^n)$ satisfying the condition that $t\mapsto \det F(t,0)$ vanishes to finite order at $t=0$. Then we can factor $F(t,x)=C(t,x)P(t,x)$ near (0,0), where $C(t,x)\in C^{\infty }$ is inversible and $P(t,x)$ is polynomial function of $t$ depending $C^{\infty }$ on $x$. The preparation is (essentially) unique, up to functions vanishing to infinite order at $x=0$, if we impose some additional conditions on $P(t,x)$. We also have a generalization of the division theorem, and analytic versions generalizing the Weierstrass preparation and division theorems.

Résumé

Nous généralisons le théorème de préparation de Malgrange au cas des fonctions $F(t,x)\in C^{\infty }(\mathbf{R}\times {\mathbf{R}}^n)$ à valeurs matricielles. Nous supposons que $t\mapsto \det F(t,0)$ s’annule à un ordre fini en $t=0$. Nous démontrons qu’on peut alors factoriser $F$ sous la forme $F(t,x)=C(t,x)P(t,x)$ au voisinage de (0,0), où $C(t,x)\in C^{\infty }$ est inversible et $P(t,x)$ est un polynôme en $t$, à coefficients qui sont des fonctions $C^{\infty }$ de $x$. Si nous imposons des conditions supplémentaires sur $P(t,x)$, nous montrons que la préparartion est (essentiellement) unique, modulo des fonctions s’annulant à l’ordre infini en $x=0$. Nous donnons aussi une généralisation du théorème de division de Malgrange, et des versions analytiques qui généralisent les théorèmes de préparation et division de Weierstrass.

Détail

DOI : 10.5802/aif.1359