Sur les points où une fonction analytique prend des valeurs entières

Bézivin, Jean-Paul

Annales de l'Institut Fourier, Tome 40 (1990) no. 4, pp. 785-809

Résumé (VO)

Un théorème bien connu de Pólya montre que si $f\left(z\right)$ est une fonction entière d’une variable complexe telle que $f\left(n\right)$ appartienne à $\mathbb{Z}$ pour tout entier naturel $n$, et de type exponentiel plus petit que $log2$, alors $f$ est un polynôme. De même Gel’fond a montré que si $q$ est un entier naturel plus grand que 1, si la croissance de $f$ est assez lente et si $f\left(q^n\right)$ appartient à $\mathbb{Z}$ pour tout $n$, alors $f$ est un polynôme.

Dans cet article, nous étudions le même genre de question quand les suites $n$ et $q^n$ sont remplacées par différentes suites récurrentes linéaires.

Abstract

A well-known theorem of Pólya asserts that if $f\left(z\right)$ is an entire function of a complex variable of exponential type less that $log2$ and if $f\left(n\right)$ belongs to $\mathbb{Z}$ for all rational positive integers $n$, then $f$ is a polynomial. Gel’fond has shown that if $q$ is a rational integer greater than one, and if $f$ is of slow growth such that $f\left(q^n\right)$ belongs to $\mathbb{Z}$ for all positive rational integers $n$ then $f$ is a polynomial.

In this paper, we study the same kind of questions when the sequences $n$ and $q^n$ are replaced by some different linear recurrent sequences.

Détail

DOI : 10.5802/aif.1235