Quotients de fonctions entières et quotients de Hadamard de séries formelles

Bézivin, Jean-Pierre

Annales de l'Institut Fourier, Tome 39 (1989) no. 3, pp. 737-752

Résumé (VO)

Dans cet article, nous démontrons deux résultats. L’un concerne les séries $f^{\prime }\left(z\right)=\sum a\left(n\right)z^n/n!$ telles que $\sum a\left(n\right)x^n$ est une série algébrique. Soit $AE$ cet ensemble de fonctions. Si $f$ appartient à $AE$, et si $g\left(z\right)$ est un polynôme-exponentiel tel que $h\left(z\right)=f\left(z\right)/g\left(z\right)$ est entière, alors il existe un polynôme $P\left(z\right)$ tel que $P\left(z\right)h\left(z\right)$ appartienne à $AE$.

L’autre résultat est parallèle au premier. Soit $\sum u\left(n\right)x^n$ une série algébrique à coefficients dans un corps $𝕂$ (qui est soit $𝕂$, soit un corps quadratique imaginaire). Soit $\sum v\left(n\right)x^n$ une série rationnelle à coefficients dans $𝕂$. Avec quelques conditions restrictives sur la suite $v\left(n\right)$, on montre que si $a\left(n\right)=u\left(n\right)/v\left(n\right)$ est un entier de $𝕂$ pour tout $n$, alors la série $\sum a\left(n\right)x^n$ est une série algébrique.

Abstract

In this paper, we prove two results. The first is about power series $f\left(z\right)=\sum a\left(n\right)z^n/n!$ such that $\sum a\left(n\right)z^n$ is an algebraic power series. Note by $AE$ this set of functions. Let $f$ in $AE$, $g$ an exponential-polynomial, and suppose that $h\left(z\right)=f\left(z\right)/g\left(z\right)$ is an entire functions. Then there exist a polynomial $P$ such that $P\left(z\right)h\left(z\right)$ belongs to $AE$.

The other result is the following. Let $\sum u\left(n\right)x^n$ be an algebraic power series, and $\sum v\left(n\right)x^n$ a rational power series with coefficients in $𝕂$ ($𝕂$ is either $\mathbb{Q}$, or a quadratic imaginary extension of $\mathbb{Q}$). Suppose that $a\left(n\right)=u\left(n\right)/v\left(n\right)$ is an algebraic integer of $𝕂$ for all $n$. With some additional conditions on the sequence $v\left(n\right)$, we show that $\sum a\left(n\right)x^n$ is also an algebraic power series.

Détail

DOI : 10.5802/aif.1185