On the angles between certain arithmetically defined subspaces of ${𝐂}^n$

Brooks, Robert

Annales de l'Institut Fourier, Tome 37 (1987) no. 1, pp. 175-185

Abstract (VO)

If $\left\{v_i\right\}$ and $\left\{w_j\right\}$ are two families of unitary bases for ${\mathbf{C}}^n$, and $\theta$ is a fixed number, let $V^n$ and $W^n$ be subspaces of ${\mathbf{C}}^n$ spanned by $[\theta ·n]$ vectors in $\left\{v_i\right\}$ and $\left\{w_j\right\}$ respectively. We study the angle between $V^n$ and $W^n$ as $n$ goes to infinity. We show that when $\left\{v_i\right\}$ and $\left\{w_j\right\}$ arise in certain arithmetically defined families, the angles between $V^n$ and $W^n$ may either tend to $0$ or be bounded away from zero, depending on the behavior of an associated eigenvalue problem.

Résumé

Pour $\left\{v_i\right\}$ et $\left\{w_j\right\}$ deux familles de bases de ${\mathbf{C}}^n$, et $\theta$ un nombre fixe, nous considérons $V^n$ et $W^n$ deux sous-espaces engendrés par $[\theta ·n]$ vecteurs de $\left\{v_i\right\}$ et $\left\{w_j\right\}$ respectivement. Nous étudions l’angle entre $V^n$ et $W^n$ quand $n$ tend vers l’infini. Nous démontrons que, quand $\left\{v_i\right\}$ et $\left\{w_j\right\}$ sont présents dans certaines familles définies arithmétiquement, l’angle entre $V^n$ et $W^n$ peut soit tendre vers 0, soit être minoré par une constante strictement positive. Ce comportement dépend d’un problème de valeur propre associé.

Détail

DOI : 10.5802/aif.1081