Sur la ${\mathbb{Z}}_p$-torsion de certains modules galoisiens

Nguyen-Quang-Do, Thong

Annales de l'Institut Fourier, Tome 36 (1986) no. 2, pp. 27-46

Résumé (VO)

Étant donné un corps de nombres $K$ et un nombre premier $p$, soit ${𝒯}_K$ le sous-module de ${\mathbf{Z}}_p$-torsion du groupe de Galois de la $p$-extension abélienne $p$-ramifiée maximale de $K$. On se propose d’étudier la structure de module galoisien de ${𝒯}_K$. Si $K$ vérifie la conjecture de Leopoldt, ${𝒯}_K$ contient un sous-module formé des racines $p$-primaires de l’unité semi-locales quotientées par les racines $p$-primaires de l’unité globales, et le quotient de ${𝒯}_K$ par ce sous-module peut s’interpréter de deux façons : soit comme les points fixes d’un certain module d’Iwasawa, soit comme la ${\mathbf{Z}}_p$-torsion d’un module de Bertrandias-Payan. Des applications sont données à la théorie d’Iwasawa et à la $K$-théorie.

Abstract

Given an algebraic number field $K$ and a prime number $p$ let ${𝒯}_K$ be the ${\mathbf{Z}}_p$-torsion submodule of the Galois group of the maximal Abelian $p$-ramified $p$-extension of $K$. We want to study the Galois module structure of ${𝒯}_K$. Under Leopoldt’s conjecture for $K$, ${𝒯}_K$ contains a submodule consisting of the semi-local $p$-primary roots of unity divided by the global ones, and the quotients of ${𝒯}_K$ by this submodule can be interpreted in two ways: either as the fixed points of an Iwasawa’s module, or as the ${\mathbf{Z}}_p$-torsion of a Bertrandias-Payan’s module. Applications are given to Iwasawa’s theory and to $K$-theory.

Détail

DOI : 10.5802/aif.1045