A $C^*$-algebraic Schoenberg theorem

Bratteli, Ola; Jorgensen, Palle E. T.; Kishimoto, Akitaka; Robinson, Donald W.

doi:10.5802/aif.981

A

C^{*}

-algebraic Schoenberg theorem

Bratteli, Ola ; Jorgensen, Palle E. T. ; Kishimoto, Akitaka ; Robinson, Donald W.

Annales de l'Institut Fourier, Tome 34 (1984) no. 3, pp. 155-187

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Abstract (VO)
Résumé

Let $𝔄$ be a $C^{*}$ -algebra, $G$ a compact abelian group, $τ$ an action of $G$ by $*$ -automorphisms of $𝔄, 𝔄^{τ}$ the fixed point algebra of $τ$ and $𝔄_{F}$ the dense sub-algebra of $G$ -finite elements in $𝔄$ . Further let $H$ be a linear operator from $𝔄_{F}$ into $𝔄$ which commutes with $τ$ and vanishes on $𝔄^{τ}$ . We prove that $H$ is a complete dissipation if and only if $H$ is closable and its closure generates a $C_{0}$ -semigroup of completely positive contractions. These complete dissipations are classified in terms of certain twisted negative definite maps from the dual group $\hat{G}$ into dissipative operators affiliated with the center of the multiplier algebra of $𝔄^{τ}$ . We also argue that the complete dissipation property is strictly stronger than the usual dissipation property, except in special circumstances such as when $𝔄$ is abelian.

Soient $𝔄$ une $C^{*}$ -algèbre, $G$ un groupe compact abélien, $τ$ une action de $G$ sur $𝔄, 𝔄^{τ}$ la sous-algèbre des points fixes de $τ$ et $𝔄_{F}$ la sous-algèbre dense de $𝔄$ , des éléments $G$ -finis. Soit ensuite $H$ un opérateur linéaire de $𝔄_{F}$ dans $𝔄$ qui commute avec $τ$ et qui est nul sur $𝔄^{τ}$ . Nous prouvons que $H$ est une dissipation complète si et seulement si $H$ est fermable et sa clôture est le générateur d’un semi-groupe de type $C_{0}$ de contractions complètement positives. Ces dissipations complètes sont classifiées à l’aide de certaines applications de type négatif tordu du groupe dual $\hat{G}$ dans des opérateurs dissipatifs, affiliés au centre de l’algèbre des multiplicateurs de $𝔄^{τ}$ . Dans ce cadre, il est également établi que les dissipations complètes forment un sous-ensemble propre des dissipations générales, sauf pour le cas où $𝔄$ est une $C^{*}$ -algèbre abélienne.

MR Zbl

DOI : 10.5802/aif.981

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Bratteli, Ola; Jorgensen, Palle E. T.; Kishimoto, Akitaka; Robinson, Donald W. A $C^*$-algebraic Schoenberg theorem. Annales de l'Institut Fourier, Tome 34 (1984) no. 3, pp. 155-187. doi: 10.5802/aif.981

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