Asymptotic behaviour of the scattering phase for non-trapping obstacles

Petkov, Veselin  ; Popov, Georgi

Annales de l'Institut Fourier, Tome 32 (1982) no. 3, pp. 111-149

Abstract (VO)

Let $S\left(\lambda \right)$ be the scattering matrix related to the wave equation in the exterior of a non-trapping obstacle $𝒪\subset {\mathbf{R}}^n$, $n\ge 3$ with Dirichlet or Neumann boundary conditions on $\partial 𝒪$. The function $s\left(\lambda \right)$, called scattering phase, is determined from the equality $e^{-2\pi is\left(\lambda \right)}=\det S\left(\lambda \right)$. We show that $s\left(\lambda \right)$ has an asymptotic expansion $s\left(\lambda \right)\sim {\sum }_{j=0}^{\infty }{c}_j{\lambda }^{n-j}$ as $\lambda \to +\infty$ and we compute the first three coefficients. Our result proves the conjecture of Majda and Ralston for non-trapping obstacles.

Résumé

Soit $S\left(\lambda \right)$ la matrice de diffusion, associée à l’équation des ondes dans l’extérieur d’un obstacle non-captif $𝒪\subset {\mathbf{R}}^n$, $n\ge 3$ avec condition de Dirichlet ou Neumann sur $\partial 𝒪$. La fonction $s\left(\lambda \right)$, dite phase de diffusion, est déterminée par l’égalité $e^{-2\pi is\left(\lambda \right)}=\det S\left(\lambda \right)$. On démontre que $s\left(\lambda \right)$ admet un développement asymptotique $s\left(\lambda \right)\sim {\sum }_{j=0}^{\infty }{c}_j{\lambda }^{n-j}$ et on calcule les trois premiers coefficients. Notre résultat prouve la conjecture de Majda et Ralston pour des obstacles non-captifs.

Détail

DOI : 10.5802/aif.882