Maximum modulus sets

Duchamp, Thomas ; Stout, Edgar Lee

Annales de l'Institut Fourier, Tome 31 (1981) no. 3, pp. 37-69

Abstract (VO)

We investigate some aspects of maximum modulus sets in the boundary of a strictly pseudoconvex domain $D$ of dimension $N$. If $\Sigma \subset bD$ is a smooth manifold of dimension $N$ and a maximum modulus set, then it admits a unique foliation by compact interpolation manifolds. There is a semiglobal converse in the real analytic case. Two functions in $A^2\left(D\right)$ with the same smooth $N$-dimensional maximum modulus set are analytically related and are polynomially related if a certain homology class in $H_1(D,\mathbf{R})$ vanishes or if $\overline{D}\subset {\mathbf{C}}^N$ is polynomially convex. Finally, the maximum modulus set of an arbitrary $f\in A\left(D\right)$ has dimension, in the topological sense, not exceeding $N$.

Résumé

Nous étudions les sous-ensembles du bord d’un domaine strictement pseudoconvexe $D$ de dimension $N$, où la valeur absolue d’une fonction $f$ de $A\left(D\right)$ ou de $A^k\left(D\right)$ prend son maximum. Ces ensembles sont les maximum modulus sets du titre. Si $\Sigma \subset bD$ est une variété différentiable de dimension réelle $N$, et si $\Sigma$ est l’ensemble des points où la valeur absolue d’une fonction $f\in A^2\left(D\right)$ atteint son maximum, alors $\Sigma$ est totalement réelle et elle admet une structure feuilletée avec comme feuilles des variétés compactes qui sont des ensembles pics d’interpolation. Il y a une converse partielle dans le cas analytique réel. Deux fonctions de $A^2\left(D\right)$ qui ont la même variété différentiable de dimension $N$ comme “maximum modulus set”, satisfont une relation analytique, et cette relation est polynomiale si une classe particulière de $H_1(D,\mathbf{R})$ s’annule ou si $\overline{D}\subset {\mathbf{C}}^N$ est polynomialement convexe. Finalement, pour toute fonction $f\in A\left(D\right)$, la dimension topologique de l’ensemble des points où $\left|f\right|$ prend son maximum est au plus $N$.

Détail

DOI : 10.5802/aif.837