L'intégration par rapport à une mesure de Radon vectorielle

Thomas, Erik 

Annales de l'Institut Fourier, Tome 20 (1970) no. 2, pp. 55-191

Résumé (VO)

Cet article concerne une méthode nouvelle de prolongement d’une mesure de Radon $\mu :\mathbf{H}\left(T\right)\to E$, à un espace de fonctions scalaires ${\mathbf{L}}^1\left(\mu \right)$, et l’étude détaillée de ce prolongement. L’outil essentiel est la “semi-variation” associée à $\mu$ dans le cas où $E$ est un espace normé, une notion qui a son origine à la fois dans la semi-variation ensembliste de Bartle, Dunford et Schwartz (Canad. J. of Math., t. 7 (1955), 289-305), (New York, London, Interscience Publishers, 1958), et dans l’intégrale supérieure essentielle de Bourbaki (2e édition, 5, 6. Paris, Hermann, 1956, 1965) dont la “semi-variation” est une généralisation. On examine les conditions de validité des théorèmes de convergence usuels et l’on caractérise les espaces $E$ tels que ces conditions sont vérifiées pour une mesure de Radon $\mu :\mathbf{H}\left(T\right)\to E$ arbitraire. Le théorème d’Orlicz et des généralisations nouvelles de ce théorème sont appliqués pour obtenir des caractérisations de ${\mathbf{L}}^1\left(\mu \right)$ en termes de fonctions scalairement $\mu$-intégrales. On caractérise les espaces $E$ pour lesquels toute fonction scalairement $\mu$-intégrable est $\mu$-intégrable, établissant ainsi un lien entre (R.G. Bartle, N. Dunford and J. Schwartz, Canad. J. of Math., t. 7 (1955), 289-305) et (Nicolas Bourbaki, 2e édition, 5, 6. Paris, Hermann, 1956, 1965). Application est faite à l’étude des bi-mesures ce qui permet d’améliorer certains résultats de Morse et Transue (Annals of Mathematics, vol. 64, no 3 (1956)). On considère l’intégration de fonctions vectorielles par rapport à une mesure de Radon vectorielle et l’on aborde l’étude du produit tensoriel de deux mesures vectorielles.

Abstract

This article concerns a new method of extension of a Radon measure $\mu :\mathbf{H}\left(T\right)\to E$, to a space of scalar functions ${\mathbf{L}}^1\left(\mu \right)$, and the detailed study of this extension. The essential tool is the “semi-variation” of $\mu$ in the case where $E$ is a normed space, a concept that has it’s origin in the set theoretic semi-variation of Bartle, Dunford and Schwartz (Canad. J. of Math., t. 7 (1955), 289-305), (New York, London, Interscience Publishers, 1958), as well as in the essential superior integral of Bourbaki (2e édition, 5, 6. Paris, Hermann, 1956, 1965) of which this “semi-variation” is a generalisation. Conditions for the validity of the usual convergence theorems are given and a characterisation is given of the spaces $E$ such that an arbitrary Radon measure $\mu :\mathbf{H}\left(T\right)\to E$ satisfies this condition . Orlicz theorem and new generalisations of it (Appendice II) are applied to obtain caracterisations of ${\mathbf{L}}^1\left(\mu \right)$ in terms of scalarly $\mu$-integrable functions. The spaces $E$ for which any scalarly $\mu$-integrable function is $\mu$-integrable are characterised , which establishes a connection between (R.G. Bartle, N. Dunford and J. Schwartz, Canad. J. of Math., t. 7 (1955), 289-305) and (Nicolas Bourbaki, 2e édition, 5, 6. Paris, Hermann, 1956, 1965). Application is made to the study of bi-measures leading to improvements of certain results of Morse and Transue (Annals of Mathematics, vol. 64, no 3 (1956)). The integration of vector-valued functions with respect to vector-valued measures is also considered, as well as the tensor product of two vector-valued measures.

Détail

DOI : 10.5802/aif.352