Les fonctions surharmoniques associées à un opérateur elliptique du second ordre à coefficients discontinus

Hervé, Rose-Marie ; Hervé, Michel

Annales de l'Institut Fourier, Tome 19 (1969) no. 1, pp. 305-359

Résumé (VO)

On étend aux solutions et sursolutions locales d’une équation elliptique de la forme

$$-\sum _i\frac{\partial u}{\partial x_i}+\left(\sum _j{a}_{ij}\frac{\partial u}{\partial x_i}+d_{j}u\right)+\sum _i{b}_i\frac{\partial u}{\partial x_i}+cu=0$$

les propriétés démontrées dans le cas $d_i=b_i=c=0$ : les solutions locales forment un système de fonctions harmoniques satisfaisant à l’axiomatique de M. Brelot, les fonctions surharmoniques coïncidant p.p. avec les sursolutions locales ; un principe du maximum pour les fonctions sous-harmoniques majorées par une fonction $\epsilon W_0^{1,2}$ ; la stabilité par balayage sur un ensemble quelconque des fonctions surharmoniques $\epsilon W_0^{1,2}$ ou $W_{\mathrm{loc}}^{1,2}$ ainsi qu’une caractérisation des potentiels $\epsilon W_0^{1,2}$ qui sont les potentiels d’énergie finie.

L’étude est ici compliquée par le fait que la forme bilinéaire associée à l’opérateur n’est pas en général coercive, de sorte que les méthodes utilisées dans le cas $d_i=b_i=c=0$ ne s’appliquent plus.

Abstract

Local solutions and supersolutions of an elliptic equation

$$-\sum _i\frac{\partial u}{\partial x_i}+\left(\sum _j{a}_{ij}\frac{\partial u}{\partial x_i}+d_{j}u\right)+\sum _i{b}_i\frac{\partial u}{\partial x_i}+cu=0$$

are shown to enjoy the same properties as in the case $d_i=b_i=c=0$, namely: local solutions are a system of harmonic functions satisfying Brelot’s axioms, with superharmonic functions coinciding a.e. with local supersolutions; a maximum principle holds for subharmonic functions majorized by functions in $\epsilon W_0^{1,2}$; the class of superharmonic functions in $\epsilon W_0^{1,2}$ or $W_{\mathrm{loc}}^{1,2}$ is stable by sweeping out; finally those potentials which belong to $\epsilon W_0^{1,2}$ are characterized by finite energies. The main difficulty lies in the fact that the bilinear form $\langle Lu,\nu \rangle$ is not coercive in general, which implies the failure of the methods used in the case $d_i=b_i=c=0$.

Détail

DOI : 10.5802/aif.320