Détermination des axiomatiques de théorie du potentiel dont les fonctions harmoniques sont différentiables

Bony, Jean-Michel 

Annales de l'Institut Fourier, Tome 17 (1967) no. 1, pp. 353-382

Résumé

On se donne une axiomatique de théorie du potentiel dans un ouvert $\Omega$ de ${\mathbf{R}}^n$ (en ne conservant que les axiomes 1 et 2 de M. Brelot), et on suppose de plus que les fonctions harmoniques sont de classe $C^2$. On démontre alors que, dans un ouvert ${\Omega }_0$ dense dans $\Omega$, il existe un opérateur différentiel elliptique dégénéré $\mathbf{A}$, à coefficients continus, unique à un facteur de proportionnalité près, tel que les fonctions harmoniques soient exactement les solutions $u$ de l’équation $\mathbf{A}u=0$.

On étudie ensuite les relations entre les divers axiomes de convergence et la nature de l’opérateur $\mathbf{A}$ associé. Enfin, on caractérise les axiomatiques de Brelot et de Bauer invariantes par translation en termes d’opérateurs différentiels à coefficients constants, respectivement elliptiques et paraboliques.

Détail

DOI : 10.5802/aif.260