Contribution à l'étude des corps abéliens absolus de degré premier impair

Payan, Jean-Jacques 

Annales de l'Institut Fourier, Tome 15 (1965) no. 2, pp. 133-199

Résumé

Soit $k$ une extension algébrique du corps des nombres rationnels, galoisienne et de degré premier $\ell$. Si ${\theta }_0,{\theta }_1,...,{\theta }_{\ell -1}$ désignent des éléments primitifs conjugués de $k$, on note $\overline{{\theta }_{u,j}}$, $j=1,2,...,\ell -1$, leurs résolvantes de Lagrange. Les nombres ${\mu }_j={\overline{{\theta }_{u,j}}}^{\ell }$ sont des éléments primitifs conjugués du corps $C\left(\ell \right)$ des racines $\ell$-ièmes de l’unité.

La première partie est consacrée à la caractérisation de ces $\mu$, on en déduit une paramétrisation des polynômes abéliens de degré $\ell$. On s’intéresse ensuite aux ${\mu }_j$ associés à des éléments ${\theta }_u$ entiers, ce qui permet de retrouver les résultats connus sur les propriétés arithmétiques des corps abéliens, leurs bases d’entiers et conduit à une démonstration simple de la loi de réciprocité.

Cette méthode s’étend facilement au cas où le corps de base est celui des nombres $p$-adiques, elle permet de déterminer le nombre d’extensions abéliennes de degré $\ell$ de ce corps.

Détail

DOI : 10.5802/aif.212