Un principe du maximum pour les sous-solutions locales d’une équation uniformément elliptique de la forme $Lu=-{\sum }_i\frac{\partial }{\partial x_i}\left({\sum }_j{a}_{ij}\frac{\partial u}{\partial x_j}\right)=0$

Hervé, Rose-Marie

Annales de l'Institut Fourier, Tome 14 (1964) no. 2, pp. 493-507

Résumé

Soient $\Omega$ un domaine borné de $R^n$ et $W_0^{1,2}\left(\Omega \right)$ l’adhérence de $𝒟\left(\Omega \right)$ dans l’espace $W^{1,2}\left(\Omega \right)$ des fonctions qui $\in L^2\left(\Omega \right)$ ainsi que leurs dérivées partielles premières. On démontre d’abord le principe du maximum suivant : une sous-solution locale dans $\Omega$, majorée p.p. au voisinage de $\partial \Omega$ par une fonction $\in W_0^{1,2}\left(\Omega \right)$ est $\le 0$ p.p. dans $\Omega$.

Puis on vérifie que les solutions locales de $Lu=0$ forment un système de fonctions harmoniques satisfaisant aux axiomes de M. Brelot, ce qui permet de parler du problème de Dirichlet dans un ouvert quelconque. On utilise alors le principe du maximum ci-dessus pour montrer que, si la donnée est la trace sur $\partial \Omega$ d’une fonction $F$ continue sur $\overline{\Omega }$ et $\in W^{1,2}\left(\Omega \right)$, alors la solution du problème de Dirichlet dans $\Omega$ est la solution $u$ de $Lu=0$ dans $\Omega$ telle que $F-u\in W_0^{1,2}\left(\Omega \right)$.

Détail

DOI : 10.5802/aif.185