Recherches axiomatiques sur la théorie des fonctions surharmoniques et du potentiel

Hervé, Rose-Marie

Annales de l'Institut Fourier, Tome 12 (1962), pp. 415-571

Résumé

Ces recherches prolongent l’axiomatique des fonctions harmoniques de M. Brelot.

Dans un espace $\Omega$ localement compact, connexe et localement connexe, qu’on supposera le plus souvent à base dénombrable, les fonctions harmoniques satisfont à trois axiomes : le 1er est un axiome de faisceau ; le 2e pose l’existence d’une base de la topologie formée de domaines réguliers, c’est-à-dire pour lesquels le problème de Dirichlet admet une solution unique, croissant avec la donnée ; le 3e est une propriété de convergence par croissance, qui, pour certaines questions, est renforcée en une propriété du type de Harnack.

Les fonctions surharmoniques sont alors définies comme dans le cas classique, à l’aide des domaines réguliers et de la solution du problème de Dirichlet correspondant. Soit $S^{+}$ l’ensemble des fonctions surharmoniques $\ge 0$ dans $\Omega$ ; on suppose qu’il existe au moins une fonction $\in S^{+}$, non harmonique dans $\Omega$.

Une première partie de ces recherches est centrée sur un théorème de partition, permettant de décomposer toute fonction $\in S^{+}$ en deux autres, dont l’une est harmonique dans un ouvert $\omega$ donné et l’autre harmonique dans le complémentaire de $\overline{\omega }$. Ce théorème est le point de départ de la représentation intégrale des fonctions $\in S^{+}$, que l’on effectue en appliquant la théorie de G. Choquet sur les représentations intégrales, dans les cônes convexes, à l’aide des points extrémaux. On définit, pour cela, une topologie sur $S^{+}$, rendant ce cône métrisable et localement compact.

Une autre partie de ces recherches définit et étudie, sous des hypothèses un peu plus restreintes, les fonctions harmoniques adjointes à un système donné de fonctions harmoniques, généralisant les solutions de l’équation adjointe à une équation aux dérivées partielles du second ordre, de type elliptique : $Lu=0$.

Le dernier chapitre est consacré à l’étude des fonctions harmoniques, et harmoniques adjointes, associées à l’équation $Lu=0$.

Détail

DOI : 10.5802/aif.125