Introduction de poids dans l'étude de problèmes aux limites

Morel, Henri

Annales de l'Institut Fourier, Tome 12 (1962), pp. 299-413

Résumé

On résout certains problèmes aux limites en introduisant des poids dans la construction des espaces de données et de solutions : les normes utilisées se calculent en intégrant une forme quadratique des dérivées d’une fonction, pour des mesures $h_{i}dx$, où $dx$ est la mesure de Lebesgue sur un ouvert ; le poids $h_i$ est localement intégrable, positif ; $h_i^{-1}$ est localement borné, et $h_i$ est nulle ou singulière sur une partie de la frontière pour nous sortir du cas classique ; en même temps que les $h_i$, il faut introduire des fonctions auxiliaires $p$ et $q$ ; on obtient alors des théorèmes d’isomorphisme à l’aide du théorème de représentation de Lax-Milgram ou de sa variante figurant dans la thèse de Lions. On utilise certaines inégalités, pour lesquelles il a fallu chercher les meilleures constantes.

Les théorèmes d’isomorphisme obtenus permettent de résoudre des problèmes de Dirichlet, de Neumann ou de type mixte, avec des espaces nouveaux. On peut alors traiter par cette méthode des opérateurs elliptiques à coefficients singuliers. D’autre part, les espaces de solutions introduits permettent d’avoir divers types de conditions de nullité au bord. On discute la méthode employée. Certains cas limites conduisent à des théorèmes d’existence sans unicité. Deux questions auxiliaires ont été traitées au préalable : la question de savoir si les espaces construits sont des espaces de distributions, qui nous conduit à certains critères, et la caractérisation des éléments de ces espaces par l’étude de leur comportement au bord.

Dans un deuxième chapitre, on introduit des poids dans des méthodes d’application du théorème de Hille-Yosida à des problèmes d’évolution.

Détail

DOI : 10.5802/aif.124