Étude et extensions du principe de Dirichlet

Brelot, Marcel

Annales de l'Institut Fourier, Tome 5 (1954), pp. 371-419

Résumé

Le principe de Dirichlet est modernisé en utilisant la théorie indépendante du problème de Dirichlet. On se place dans les “espaces de Green” $ℰ$ à $\tau \ge 2$ dim. (comprenant en particulier les surfaces de Riemann hyperboliques) et on utilise les fonctions $\left(BLD\right)$ que Deny a introduites à partir des fonctions dites $\left(BL\right)$ et dont les classes d’équivalence forment un espace de Hilbert (où la norme est la racine carrée de l’intégrale de Dirichlet).

Mais le point le plus important est dans l’expression des conditions-frontière. On utilise la notion récente de lignes de Green (trajectoires orthogonales des surfaces $G_p=C^{\mathrm{te}}$) sur lesquelles sont choisies une topologie et une mesure $dg$. La limite en moyenne-$dg$ sur les surfaces $G_p=\mathrm{const}.\lambda$ quand $\lambda \to 0$, d’une fonction $f$ dans $ℰ$ est dite radiale de $f$. Toute fonction $\left(BLD\right)$ admet une radiale. Cela posé, si l’on part d’une fonction $f\left(BLD\right)$ dans $\mathbf{E}$, la solution du problème de Dirichlet $H_f^{{\Omega }_n}$ relative à un domaine ${\Omega }_n$ tendant en croissant vers $ℰ({\overline{\Omega }}_n\subset \mathbf{E})$ a une limite qui est, à une constante près, la seule fonction harmonique $\left(BLD\right)$ minimisant $\parallel u-f\parallel$ ; c’est aussi la seule fonction $\left(BLD\right)$ de radiale égale à celle de $f$ et qui soit harmonique, ou bien de norme minima.

Tout cela est inspiré d’une étude très particulière par Bochner dans le cas de domaines limités par des sphères et dérive, comme la théorie classique depuis Nikodym, d’une interprétation géométrique dans un espace de Hilbert. L’extension faite au cas d’une partie de frontière libre suggère des recherches ultérieures.

Détail

DOI : 10.5802/aif.56