Les espaces du type de Beppo Levi

Deny, Jacques ; Lions, Jacques-Louis

Annales de l'Institut Fourier, Tome 5 (1954), pp. 305-370

Résumé

Soit $\Omega$ un ouvert quelconque connexe de ${\mathbf{R}}^n$. Soit $E$ un espace vectoriel de distributions sur $\Omega$, séparé et complet. On désigne par $B{L}_m\left(E\right)$ l’espace des distributions sur $\Omega$ dont toutes les dérivées d’ordre $m$ sont dans $E$. Ces espaces sont les espaces du type de Beppo Levi. Si $E=L^2\left(\Omega \right)$, on écrit $BL=BL\left(\Omega \right)$ au lieu de $B{L}_1(L^2\left(\Omega \right))$. La première partie est consacrée aux propriétés générales des espaces $B{L}_1\left(E\right)$ ; la seconde associe à toute fonction $F\in BL\left(\Omega \right)$ une fonction “précisée”, définie partout sauf sur un ensemble de capacité extérieure nulle ; la troisième aborde l’étude des $B{L}_m\left(E\right)$. Parmi les résultats principaux, signalons : 1) l’espace séparé associé à $B{L}_m\left(E\right)$ est complet ; 2) si $n>2$, l’espace ${\widehat{\mathbf{D}}}^1\left(\Omega \right)$, complété de $\mathbf{D}\left(\Omega \right)$ pour la norme $\parallel \varphi {\parallel }_1=({\int }_{\Omega }|\overrightarrow{\mathrm{grad}}\varphi {|}^{2}dx{)}^{1/2}$ est un espace de distributions. Si $n=2$, il en est encore ainsi, si et seulement si, $\Omega$ est de complémentaire non polaire ; 3) pour que le problème de Neumann relatif à un ouvert connexe borné $\Omega$ et à l’équation $\Delta u=0$ soit possible (en un certain sens) il faut et il suffit que $\Omega$ soit un ouvert de Nikodym (i.e. toute $F\in BL\left(\Omega \right)$ est dans $L^2\left(\Omega \right)$) ; 4) pour qu’une $F\in BL\left(\Omega \right)$ soit dans ${\widehat{\mathbf{D}}}^1\left(\Omega \right)$, il faut et il suffit qu’une fonction “précisée” $F^{*}$, associée à $F$, admette la pseudo-limite 0 quasi partout à la frontière, et à l’infini si $n>2$ et $\Omega$ non borné, etc.

Détail

DOI : 10.5802/aif.55